Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) + 3 e^{x}}{2 e^{x}}$

Bước 1

Chuyển số hạng $\frac{1}{2}$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) + 3 e^{x}}{e^{x}}$

Bước 2

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \cos (x) + 3 e^{x}}{lim_{x \to 0} e^{x}}$

Bước 3

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \cos (x) + lim_{x \to 0} 3 e^{x}}{lim_{x \to 0} e^{x}}$

Bước 4

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì cosin liên tục.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 3 e^{x}}{lim_{x \to 0} e^{x}}$

Bước 5

Chuyển số hạng $3$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to 0} x) + 3 lim_{x \to 0} e^{x}}{lim_{x \to 0} e^{x}}$

Bước 6

Đưa giới hạn vào trong số mũ.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to 0} x) + 3 e^{lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} e^{x}}$

Bước 7

Đưa giới hạn vào trong số mũ.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to 0} x) + 3 e^{lim_{x \to 0} x}}{e^{lim_{x \to 0} x}}$

Bước 8

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $0$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (0) + 3 e^{lim_{x \to 0} x}}{e^{lim_{x \to 0} x}}$

Bước 8.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (0) + 3 e^{0}}{e^{lim_{x \to 0} x}}$

Bước 8.3

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (0) + 3 e^{0}}{e^{0}}$

Bước 9

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 + 3 e^{0}}{e^{0}}$

Bước 9.1.2

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 + 3 \cdot 1}{e^{0}}$

Bước 9.1.3

Nhân $3$ với $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 + 3}{e^{0}}$

Bước 9.1.4

Cộng $1$ và $3$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{e^{0}}$

Bước 9.2

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{1}$

Bước 9.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 (2)}{1}$

Bước 9.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 2}{1}$

Bước 9.3.3

Viết lại biểu thức.

$2$