Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to 0^{+}} x^{\sqrt{x}}$

Bước 1

Sử dụng các tính chất của logarit để rút gọn giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Viết lại $x^{\sqrt{x}}$ ở dạng $e^{\ln (x^{\sqrt{x}})}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} e^{\ln (x^{\sqrt{x}})}$

Bước 1.2

Khai triển $\ln (x^{\sqrt{x}})$ bằng cách di chuyển $\sqrt{x}$ ra bên ngoài lôgarit.

$lim_{x \to 0^{+}} e^{\sqrt{x} \ln (x)}$

Bước 2

Đưa giới hạn vào trong số mũ.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \sqrt{x} \ln (x)}$

Bước 3

Viết lại $\sqrt{x} \ln (x)$ ở dạng $\frac{\ln (x)}{\frac{1}{\sqrt{x}}}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{\frac{1}{\sqrt{x}}}}$

Bước 4

Áp dụng quy tắc l'Hôpital

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tính giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Lấy giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

$e^{\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (x)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\sqrt{x}}}}$

Bước 4.1.2

Vì $x$ tiến dần đến $0$ từ phía bên phải, nên $\ln (x)$ giảm không giới hạn.

$e^{\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\sqrt{x}}}}$

Bước 4.1.3

Vì tử số dương và mẫu số $\sqrt{x}$ tiến dần đến 0 và lớn hơn 0 đối với $x$ gần $0$ ở bên phải, nên hàm số tăng không giới hạn.

$e^{\frac{- \infty}{\infty}}$

Bước 4.1.4

Vô cùng chia cho vô cùng là không xác định.

Không xác định

$e^{\frac{- \infty}{\infty}}$

Bước 4.2

Vì $\frac{- \infty}{\infty}$ ở dạng không xác định, nên ta áp dụng quy tắc L'Hôpital. Quy tắc L'Hôpital khẳng định rằng giới hạn của một thương của các hàm số bằng giới hạn của thương của các đạo hàm của chúng.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{\frac{1}{\sqrt{x}}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]}$

Bước 4.3

Tìm đạo hàm của tử số và mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Tính đạo hàm tử số và mẫu số.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]}}$

Bước 4.3.2

Đạo hàm của $\ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{x}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]}}$

Bước 4.3.3

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]}}$

Bước 4.3.4

Viết lại $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ ở dạng ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]}}$

Bước 4.3.5

Nhân các số mũ trong ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.5.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]}}$

Bước 4.3.5.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{\frac{- 1}{2}}]}}$

Bước 4.3.5.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}]}}$

Bước 4.3.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = - \frac{1}{2}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1}}}$

Bước 4.3.7

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}}$

Bước 4.3.8

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}}$

Bước 4.3.9

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}}}}$

Bước 4.3.10

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.10.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 2}{2}}}}$

Bước 4.3.10.2

Trừ $2$ khỏi $- 1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{2} x^{\frac{- 3}{2}}}}$

Bước 4.3.11

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}}}}$

Bước 4.3.12

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.12.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}}}$

Bước 4.3.12.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.12.2.1

Nhân $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ với $\frac{1}{2}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}}}$

Bước 4.3.12.2.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $x^{\frac{3}{2}}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}}}$

Bước 4.4

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} \cdot - 1 \cdot 2 x^{\frac{3}{2}}}$

Bước 4.5

Kết hợp các thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.1

Nhân $2$ với $- 1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} \cdot - 2 x^{\frac{3}{2}}}$

Bước 4.5.2

Kết hợp $- 2$ và $\frac{1}{x}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 2}{x} x^{\frac{3}{2}}}$

Bước 4.5.3

Kết hợp $\frac{- 2}{x}$ và $x^{\frac{3}{2}}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 2 x^{\frac{3}{2}}}{x}}$

Bước 4.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.1

Đưa $x$ ra ngoài $- 2 x^{\frac{3}{2}}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \cdot - 2 x^{\frac{1}{2}}}{x}}$

Bước 4.6.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \cdot - 2 x^{\frac{1}{2}}}{x^{1}}}$

Bước 4.6.2.2

Đưa $x$ ra ngoài $x^{1}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \cdot - 2 x^{\frac{1}{2}}}{x \cdot 1}}$

Bước 4.6.2.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \cdot - 2 x^{\frac{1}{2}}}{x \cdot 1}}$

Bước 4.6.2.4

Viết lại biểu thức.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 2 x^{\frac{1}{2}}}{1}}$

Bước 4.6.2.5

Chia $- 2 x^{\frac{1}{2}}$ cho $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - 2 x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 5

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Chuyển số hạng $- 2$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 5.2

Đưa số mũ $\frac{1}{2}$ từ $x^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$e^{- 2 {(lim_{x \to 0^{+}} x)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 6

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$e^{- 2 \cdot 0^{\frac{1}{2}}}$

Bước 7

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1

Viết lại $0$ ở dạng $0^{2}$ .

$e^{- 2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 7.1.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$e^{- 2 \cdot 0^{2 (\frac{1}{2})}}$

Bước 7.1.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$e^{- 2 \cdot 0^{2 (\frac{1}{2})}}$

Bước 7.1.3.2

Viết lại biểu thức.

$e^{- 2 \cdot 0^{1}}$

Bước 7.1.4

Tính số mũ.

$e^{- 2 \cdot 0}$

Bước 7.1.5

Nhân $- 2$ với $0$ .

$e^{0}$

Bước 7.2

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$1$