Giải tích Ví dụ

$y = x^{\cos (x)}$

Bước 1

Để $y = f (x)$ , lấy logarit tự nhiên của cả hai vế $\ln (y) = \ln (f (x))$ .

$\ln (y) = \ln (x^{\cos (x)})$

Bước 2

Khai triển $\ln (x^{\cos (x)})$ bằng cách di chuyển $\cos (x)$ ra bên ngoài lôgarit.

$\ln (y) = \cos (x) \ln (x)$

Bước 3

Differentiate the expression using the chain rule, keeping in mind that $y$ is a function of $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm vế trái $\ln (y)$ bằng quy tắc chuỗi.

$\frac{y'}{y} = \cos (x) \ln (x)$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Tính đạo hàm $\cos (x) \ln (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [\cos (x) \ln (x)]$

Bước 3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = \cos (x)$ và $g (x) = \ln (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \cos (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Bước 3.2.3

Đạo hàm của $\ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = \cos (x) \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Bước 3.2.4

Kết hợp $\cos (x)$ và $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{\cos (x)}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Bước 3.2.5

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{\cos (x)}{x} + \ln (x) (- \sin (x))$

Bước 3.2.6

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{y'}{y} = - \sin (x) \ln (x) + \frac{\cos (x)}{x}$

Bước 4

Tách riêng $y'$ và thay hàm số ban đầu cho $y$ ở vế phải.

$y' = (- \sin (x) \ln (x) + \frac{\cos (x)}{x}) x^{\cos (x)}$

Bước 5

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y' = - \sin (x) \ln (x) x^{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{x} x^{\cos (x)}$

Bước 5.2

Kết hợp $\frac{\cos (x)}{x}$ và $x^{\cos (x)}$ .

$y' = - \sin (x) \ln (x) x^{\cos (x)} + \frac{\cos (x) x^{\cos (x)}}{x}$

Bước 5.3

Triệt tiêu thừa số chung của $x^{\cos (x)}$ và $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Đưa $x$ ra ngoài $\cos (x) x^{\cos (x)}$ .

$y' = - \sin (x) \ln (x) x^{\cos (x)} + \frac{x (\cos (x) x^{\cos (x) - 1})}{x}$

Bước 5.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$y' = - \sin (x) \ln (x) x^{\cos (x)} + \frac{x (\cos (x) x^{\cos (x) - 1})}{x^{1}}$

Bước 5.3.2.2

Đưa $x$ ra ngoài $x^{1}$ .

$y' = - \sin (x) \ln (x) x^{\cos (x)} + \frac{x (\cos (x) x^{\cos (x) - 1})}{x \cdot 1}$

Bước 5.3.2.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$y' = - \sin (x) \ln (x) x^{\cos (x)} + \frac{x (\cos (x) x^{\cos (x) - 1})}{x \cdot 1}$

Bước 5.3.2.4

Viết lại biểu thức.

$y' = - \sin (x) \ln (x) x^{\cos (x)} + \frac{\cos (x) x^{\cos (x) - 1}}{1}$

Bước 5.3.2.5

Chia $\cos (x) x^{\cos (x) - 1}$ cho $1$ .

$y' = - \sin (x) \ln (x) x^{\cos (x)} + \cos (x) x^{\cos (x) - 1}$

Bước 5.4

Sắp xếp lại các thừa số trong $- \sin (x) \ln (x) x^{\cos (x)} + \cos (x) x^{\cos (x) - 1}$ .

$y' = - x^{\cos (x)} \sin (x) \ln (x) + x^{\cos (x) - 1} \cos (x)$