Giải tích Ví dụ

$\sqrt{1 + x^{2}}$

Bước 1

Viết $\sqrt{1 + x^{2}}$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = \sqrt{1 + x^{2}}$

Bước 2

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 3

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int \sqrt{1 + x^{2}} d x$

Bước 4

Giả sử $x = \tan (t)$ , trong đó $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Sau đó $d x = \sec^{2} (t) d t$ . Lưu ý rằng vì $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , nên $\sec^{2} (t)$ dương.

$\int \sqrt{1 + \tan^{2} (t)} \sec^{2} (t) d t$

Bước 5

Rút gọn $\sqrt{1 + \tan^{2} (t)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$\int \sqrt{\tan^{2} (t) + 1} \sec^{2} (t) d t$

Bước 5.2

Áp dụng đẳng thức pytago.

$\int \sqrt{\sec^{2} (t)} \sec^{2} (t) d t$

Bước 5.3

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$\int \sec (t) \sec^{2} (t) d t$

Bước 6

Nhân $\sec (t)$ với $\sec^{2} (t)$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân $\sec (t)$ với $\sec^{2} (t)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Nâng $\sec (t)$ lên lũy thừa $1$ .

$\int \sec^{1} (t) \sec^{2} (t) d t$

Bước 6.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int {\sec (t)}^{1 + 2} d t$

Bước 6.2

Cộng $1$ và $2$ .

$\int \sec^{3} (t) d t$

Bước 7

Đưa $\sec (t)$ ra ngoài $\sec^{3} (t)$ .

$\int \sec (t) \sec^{2} (t) d t$

Bước 8

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = \sec (t)$ và $d v = \sec^{2} (t)$ .

$\sec (t) \tan (t) - \int \tan (t) (\sec (t) \tan (t)) d t$

Bước 9

Nâng $\tan (t)$ lên lũy thừa $1$ .

$\sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan (t) \sec (t) d t$

Bước 10

Nâng $\tan (t)$ lên lũy thừa $1$ .

$\sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan^{1} (t) \sec (t) d t$

Bước 11

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\sec (t) \tan (t) - \int {\tan (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t$

Bước 12

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Cộng $1$ và $1$ .

$\sec (t) \tan (t) - \int \tan^{2} (t) \sec (t) d t$

Bước 12.2

Sắp xếp lại $\tan^{2} (t)$ và $\sec (t)$ .

$\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \tan^{2} (t) d t$

Bước 13

Sử dụng đẳng thức Pytago, viết lại $\tan^{2} (t)$ ở dạng $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec^{2} (t)) d t$

Bước 14

Rút gọn bằng cách nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Viết lại lũy thừa ở dạng một tích.

$\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec (t) \sec (t)) d t$

Bước 14.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \cdot - 1 + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t$

Bước 14.3

Sắp xếp lại $\sec (t)$ và $- 1$ .

$\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \cdot \sec (t) + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t$

Bước 15

Nâng $\sec (t)$ lên lũy thừa $1$ .

$\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec (t) \sec (t) d t$

Bước 16

Nâng $\sec (t)$ lên lũy thừa $1$ .

$\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec^{1} (t) \sec (t) d t$

Bước 17

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t$

Bước 18

Cộng $1$ và $1$ .

$\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec (t) d t$

Bước 19

Nâng $\sec (t)$ lên lũy thừa $1$ .

$\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec^{1} (t) d t$

Bước 20

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{2 + 1} d t$

Bước 21

Cộng $2$ và $1$ .

$\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{3} (t) d t$

Bước 22

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\sec (t) \tan (t) - (\int - 1 \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t)$

Bước 23

Vì $- 1$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\sec (t) \tan (t) - (- \int \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t)$

Bước 24

Tích phân của $\sec (t)$ đối với $t$ là $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$\sec (t) \tan (t) - (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec^{3} (t) d t)$

Bước 25

Rút gọn bằng cách nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 25.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\sec (t) \tan (t) - - (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t$

Bước 25.2

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t$

Bước 26

Khi giải tìm $\int \sec^{3} (t) d t$ , chúng ta thấy rằng $\int \sec^{3} (t) d t$ = $\frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2}$ .

$\frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2} + C$

Bước 27

Nhân $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C$ với $1$ .

$\frac{\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C}{2} + C$

Bước 28

Rút gọn.

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

Bước 29

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $t$ với $\arctan (x)$ .

$\frac{1}{2} (\sec (\arctan (x)) \tan (\arctan (x)) + \ln (| \sec (\arctan (x)) + \tan (\arctan (x)) |)) + C$

Bước 30

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = \sqrt{1 + x^{2}}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} (\sec (\arctan (x)) \tan (\arctan (x)) + \ln (| \sec (\arctan (x)) + \tan (\arctan (x)) |)) + C$