Giải tích Ví dụ

$y = x^{\ln (x)}$

Bước 1

Để $y = f (x)$ , lấy logarit tự nhiên của cả hai vế $\ln (y) = \ln (f (x))$ .

$\ln (y) = \ln (x^{\ln (x)})$

Bước 2

Khai triển vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Khai triển $\ln (x^{\ln (x)})$ bằng cách di chuyển $\ln (x)$ ra bên ngoài lôgarit.

$\ln (y) = \ln (x) \ln (x)$

Bước 2.2

Nâng $\ln (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\ln (y) = \ln^{1} (x) \ln (x)$

Bước 2.3

Nâng $\ln (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\ln (y) = \ln^{1} (x) \ln^{1} (x)$

Bước 2.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\ln (y) = {\ln (x)}^{1 + 1}$

Bước 2.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\ln (y) = \ln^{2} (x)$

Bước 3

Differentiate the expression using the chain rule, keeping in mind that $y$ is a function of $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm vế trái $\ln (y)$ bằng quy tắc chuỗi.

$\frac{y'}{y} = \ln^{2} (x)$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Tính đạo hàm $\ln^{2} (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]$

Bước 3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = \ln (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\ln (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Bước 3.2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{y'}{y} = 2 u \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Bước 3.2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\ln (x)$ .

$\frac{y'}{y} = 2 \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Bước 3.2.3

Đạo hàm của $\ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = 2 \ln (x) \frac{1}{x}$

Bước 3.2.4

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.4.1

Kết hợp $\frac{1}{x}$ và $2$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{2}{x} \ln (x)$

Bước 3.2.4.2

Kết hợp $\frac{2}{x}$ và $\ln (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{2 \ln (x)}{x}$

Bước 3.2.5

Rút gọn $2 \ln (x)$ bằng cách di chuyển $2$ trong logarit.

$\frac{y'}{y} = \frac{\ln (x^{2})}{x}$

Bước 4

Tách riêng $y'$ và thay hàm số ban đầu cho $y$ ở vế phải.

$y' = \frac{\ln (x^{2})}{x} x^{\ln (x)}$

Bước 5

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Kết hợp $\frac{\ln (x^{2})}{x}$ và $x^{\ln (x)}$ .

$y' = \frac{\ln (x^{2}) x^{\ln (x)}}{x}$

Bước 5.2

Triệt tiêu thừa số chung của $x^{\ln (x)}$ và $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Đưa $x$ ra ngoài $\ln (x^{2}) x^{\ln (x)}$ .

$y' = \frac{x (\ln (x^{2}) x^{\ln (x) - 1})}{x}$

Bước 5.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$y' = \frac{x (\ln (x^{2}) x^{\ln (x) - 1})}{x^{1}}$

Bước 5.2.2.2

Đưa $x$ ra ngoài $x^{1}$ .

$y' = \frac{x (\ln (x^{2}) x^{\ln (x) - 1})}{x \cdot 1}$

Bước 5.2.2.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$y' = \frac{x (\ln (x^{2}) x^{\ln (x) - 1})}{x \cdot 1}$

Bước 5.2.2.4

Viết lại biểu thức.

$y' = \frac{\ln (x^{2}) x^{\ln (x) - 1}}{1}$

Bước 5.2.2.5

Chia $\ln (x^{2}) x^{\ln (x) - 1}$ cho $1$ .

$y' = \ln (x^{2}) x^{\ln (x) - 1}$

Bước 5.3

Sắp xếp lại các thừa số trong $\ln (x^{2}) x^{\ln (x) - 1}$ .

$y' = x^{\ln (x) - 1} \ln (x^{2})$