Giải tích Ví dụ

$x + y = \frac{x}{y}$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (x + y) = \frac{d}{d x} (\frac{x}{y})$

Bước 2

Tính đạo hàm vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + y$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [y]$

Bước 2.3

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$1 + y'$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = y$ .

$\frac{y \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{y \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Bước 3.2.2

Nhân $y$ với $1$ .

$\frac{y - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Bước 3.3

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$\frac{y - x y'}{y^{2}}$

Bước 3.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{- x y' + y}{y^{2}}$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$1 + y' = \frac{- x y' + y}{y^{2}}$

Bước 5

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Nhân cả hai vế với $y^{2}$ .

$(1 + y') y^{2} = \frac{- x y' + y}{y^{2}} y^{2}$

Bước 5.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1

Rút gọn $(1 + y') y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$1 y^{2} + y' y^{2} = \frac{- x y' + y}{y^{2}} y^{2}$

Bước 5.2.1.1.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1.2.1

Nhân $y^{2}$ với $1$ .

$y^{2} + y' y^{2} = \frac{- x y' + y}{y^{2}} y^{2}$

Bước 5.2.1.1.2.2

Sắp xếp lại $y^{2}$ và $y' y^{2}$ .

$y' y^{2} + y^{2} = \frac{- x y' + y}{y^{2}} y^{2}$

Bước 5.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Rút gọn $\frac{- x y' + y}{y^{2}} y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y' y^{2} + y^{2} = \frac{- x y' + y}{y^{2}} y^{2}$

Bước 5.2.2.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$y' y^{2} + y^{2} = - x y' + y$

Bước 5.2.2.1.2

Di chuyển $x$ .

$y' y^{2} + y^{2} = - 1 y' x + y$

Bước 5.3

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Viết lại $- 1 y'$ ở dạng $- y'$ .

$y' y^{2} + y^{2} = - y' x + y$

Bước 5.3.2

Cộng $y' x$ cho cả hai vế của phương trình.

$y' y^{2} + y^{2} + y' x = y$

Bước 5.3.3

Trừ $y^{2}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$y' y^{2} + y' x = y - y^{2}$

Bước 5.3.4

Đưa $y'$ ra ngoài $y' y^{2} + y' x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.1

Đưa $y'$ ra ngoài $y' y^{2}$ .

$y' (y^{2}) + y' (x) = y - y^{2}$

Bước 5.3.4.2

Đưa $y'$ ra ngoài $y' x$ .

$y' (y^{2}) + y' (x) = y - y^{2}$

Bước 5.3.4.3

Đưa $y'$ ra ngoài $y' (y^{2}) + y' (x)$ .

$y' (y^{2} + x) = y - y^{2}$

Bước 5.3.5

Chia mỗi số hạng trong $y' (y^{2} + x) = y - y^{2}$ cho $y^{2} + x$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.5.1

Chia mỗi số hạng trong $y' (y^{2} + x) = y - y^{2}$ cho $y^{2} + x$ .

$\frac{y' (y^{2} + x)}{y^{2} + x} = \frac{y}{y^{2} + x} + \frac{- y^{2}}{y^{2} + x}$

Bước 5.3.5.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.5.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $y^{2} + x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.5.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y' (y^{2} + x)}{y^{2} + x} = \frac{y}{y^{2} + x} + \frac{- y^{2}}{y^{2} + x}$

Bước 5.3.5.2.1.2

Chia $y'$ cho $1$ .

$y' = \frac{y}{y^{2} + x} + \frac{- y^{2}}{y^{2} + x}$

Bước 5.3.5.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.5.3.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y' = \frac{y - y^{2}}{y^{2} + x}$

Bước 5.3.5.3.2

Đưa $y$ ra ngoài $y - y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.5.3.2.1

Nâng $y$ lên lũy thừa $1$ .

$y' = \frac{y^{1} - y^{2}}{y^{2} + x}$

Bước 5.3.5.3.2.2

Đưa $y$ ra ngoài $y^{1}$ .

$y' = \frac{y \cdot 1 - y^{2}}{y^{2} + x}$

Bước 5.3.5.3.2.3

Đưa $y$ ra ngoài $- y^{2}$ .

$y' = \frac{y \cdot 1 + y (- y)}{y^{2} + x}$

Bước 5.3.5.3.2.4

Đưa $y$ ra ngoài $y \cdot 1 + y (- y)$ .

$y' = \frac{y (1 - y)}{y^{2} + x}$

Bước 6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (1 - y)}{y^{2} + x}$