Giải tích Ví dụ

$y = x \sqrt{a + b x}$

Bước 1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{a + b x}$ ở dạng ${(a + b x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x {(a + b x)}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = {(a + b x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(a + b x)}^{\frac{1}{2}}] + {(a + b x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ và $g (x) = a + b x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $a + b x$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [a + b x]) + {(a + b x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [a + b x]) + {(a + b x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $a + b x$ .

$x (\frac{1}{2} {(a + b x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [a + b x]) + {(a + b x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 4

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(a + b x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [a + b x]) + {(a + b x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 5

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(a + b x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [a + b x]) + {(a + b x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$x (\frac{1}{2} {(a + b x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [a + b x]) + {(a + b x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$x (\frac{1}{2} {(a + b x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [a + b x]) + {(a + b x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 7.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$x (\frac{1}{2} {(a + b x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [a + b x]) + {(a + b x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 8

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$x (\frac{1}{2} {(a + b x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [a + b x]) + {(a + b x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 8.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và ${(a + b x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$x (\frac{{(a + b x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [a + b x]) + {(a + b x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 8.3

Di chuyển ${(a + b x)}^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (\frac{1}{2 {(a + b x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [a + b x]) + {(a + b x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 8.4

Kết hợp $\frac{1}{2 {(a + b x)}^{\frac{1}{2}}}$ và $x$ .

$\frac{x}{2 {(a + b x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [a + b x] + {(a + b x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 9

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $a + b x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [a] + \frac{d}{d x} [b x]$ .

$\frac{x}{2 {(a + b x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [a] + \frac{d}{d x} [b x]) + {(a + b x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 10

Vì $a$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $a$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{x}{2 {(a + b x)}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [b x]) + {(a + b x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 11

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [b x]$ .

$\frac{x}{2 {(a + b x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [b x] + {(a + b x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 12

Vì $b$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $b x$ đối với $x$ là $b \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x}{2 {(a + b x)}^{\frac{1}{2}}} (b \frac{d}{d x} [x]) + {(a + b x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 13

Kết hợp $b$ và $\frac{x}{2 {(a + b x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{b x}{2 {(a + b x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x] + {(a + b x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 14

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{b x}{2 {(a + b x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + {(a + b x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 15

Nhân $\frac{b x}{2 {(a + b x)}^{\frac{1}{2}}}$ với $1$ .

$\frac{b x}{2 {(a + b x)}^{\frac{1}{2}}} + {(a + b x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 16

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{b x}{2 {(a + b x)}^{\frac{1}{2}}} + {(a + b x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Bước 17

Nhân ${(a + b x)}^{\frac{1}{2}}$ với $1$ .

$\frac{b x}{2 {(a + b x)}^{\frac{1}{2}}} + {(a + b x)}^{\frac{1}{2}}$

Bước 18

Để viết ${(a + b x)}^{\frac{1}{2}}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2 {(a + b x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(a + b x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{b x}{2 {(a + b x)}^{\frac{1}{2}}} + {(a + b x)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(a + b x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(a + b x)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 19

Kết hợp ${(a + b x)}^{\frac{1}{2}}$ và $\frac{2 {(a + b x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(a + b x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{b x}{2 {(a + b x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(a + b x)}^{\frac{1}{2}} (2 {(a + b x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(a + b x)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 20

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{b x + {(a + b x)}^{\frac{1}{2}} (2 {(a + b x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(a + b x)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 21

Nhân ${(a + b x)}^{\frac{1}{2}}$ với ${(a + b x)}^{\frac{1}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 21.1

Di chuyển ${(a + b x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{b x + {(a + b x)}^{\frac{1}{2}} {(a + b x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(a + b x)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 21.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{b x + {(a + b x)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(a + b x)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 21.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{b x + {(a + b x)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(a + b x)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 21.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{b x + {(a + b x)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(a + b x)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 21.5

Chia $2$ cho $2$ .

$\frac{b x + {(a + b x)}^{1} \cdot 2}{2 {(a + b x)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 22

Rút gọn ${(a + b x)}^{1} \cdot 2$ .

$\frac{b x + (a + b x) \cdot 2}{2 {(a + b x)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 23

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $a + b x$ .

$\frac{b x + 2 \cdot (a + b x)}{2 {(a + b x)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 24

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 24.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{b x + 2 a + 2 (b x)}{2 {(a + b x)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 24.2

Cộng $b x$ và $2 b x$ .

$\frac{2 a + 3 b x}{2 {(a + b x)}^{\frac{1}{2}}}$