Giải tích Ví dụ

$\ln (2 x + y) = x + 1$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (\ln (2 x + y)) = \frac{d}{d x} (x + 1)$

Bước 2

Tính đạo hàm vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = 2 x + y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $2 x + y$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [2 x + y]$

Bước 2.1.2

Đạo hàm của $\ln (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [2 x + y]$

Bước 2.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 x + y$ .

$\frac{1}{2 x + y} \frac{d}{d x} [2 x + y]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 x + y$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{1}{2 x + y} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [y])$

Bước 2.2.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 x + y} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

Bước 2.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{2 x + y} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y])$

Bước 2.2.4

Nhân $2$ với $1$ .

$\frac{1}{2 x + y} (2 + \frac{d}{d x} [y])$

Bước 2.3

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$\frac{1}{2 x + y} (2 + y')$

Bước 2.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Sắp xếp lại các thừa số của $\frac{1}{2 x + y} (2 + y')$ .

$(2 + y') \frac{1}{2 x + y}$

Bước 2.4.2

Nhân $2 + y'$ với $\frac{1}{2 x + y}$ .

$\frac{2 + y'}{2 x + y}$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 3.3

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$1 + 0$

Bước 3.4

Cộng $1$ và $0$ .

$1$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$\frac{2 + y'}{2 x + y} = 1$

Bước 5

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Nhân cả hai vế với $2 x + y$ .

$\frac{2 + y'}{2 x + y} (2 x + y) = 1 (2 x + y)$

Bước 5.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1

Rút gọn $\frac{2 + y'}{2 x + y} (2 x + y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $2 x + y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 + y'}{2 x + y} (2 x + y) = 1 (2 x + y)$

Bước 5.2.1.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$2 + y' = 1 (2 x + y)$

Bước 5.2.1.1.2

Sắp xếp lại $2$ và $y'$ .

$y' + 2 = 1 (2 x + y)$

Bước 5.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Nhân $2 x + y$ với $1$ .

$y' + 2 = 2 x + y$

Bước 5.3

Trừ $2$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$y' = 2 x + y - 2$

Bước 6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 x + y - 2$