Giải tích Ví dụ

$\int_{1}^{4} \frac{2 + x^{2}}{\sqrt{x}} d x$

Bước 1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{1}^{4} \frac{2 + x^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Bước 2

Di chuyển $x^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\int_{1}^{4} (2 + x^{2}) {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Bước 3

Nhân các số mũ trong ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{1}^{4} (2 + x^{2}) x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Bước 3.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 1$ .

$\int_{1}^{4} (2 + x^{2}) x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Bước 3.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\int_{1}^{4} (2 + x^{2}) x^{- \frac{1}{2}} d x$

Bước 4

Khai triển $(2 + x^{2}) x^{- \frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int_{1}^{4} 2 x^{- \frac{1}{2}} + x^{2} x^{- \frac{1}{2}} d x$

Bước 4.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int_{1}^{4} 2 x^{- \frac{1}{2}} + x^{2 - \frac{1}{2}} d x$

Bước 4.3

Để viết $2$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\int_{1}^{4} 2 x^{- \frac{1}{2}} + x^{2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}} d x$

Bước 4.4

Kết hợp $2$ và $\frac{2}{2}$ .

$\int_{1}^{4} 2 x^{- \frac{1}{2}} + x^{\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}} d x$

Bước 4.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\int_{1}^{4} 2 x^{- \frac{1}{2}} + x^{\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}} d x$

Bước 4.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.1

Nhân $2$ với $2$ .

$\int_{1}^{4} 2 x^{- \frac{1}{2}} + x^{\frac{4 - 1}{2}} d x$

Bước 4.6.2

Trừ $1$ khỏi $4$ .

$\int_{1}^{4} 2 x^{- \frac{1}{2}} + x^{\frac{3}{2}} d x$

Bước 5

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{1}^{4} 2 x^{- \frac{1}{2}} d x + \int_{1}^{4} x^{\frac{3}{2}} d x$

Bước 6

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$2 \int_{1}^{4} x^{- \frac{1}{2}} d x + \int_{1}^{4} x^{\frac{3}{2}} d x$

Bước 7

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{- \frac{1}{2}}$ đối với $x$ là $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (2 x^{\frac{1}{2}}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} x^{\frac{3}{2}} d x$

Bước 8

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{\frac{3}{2}}$ đối với $x$ là $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$2 (2 x^{\frac{1}{2}}]_{1}^{4}) + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}]_{1}^{4}$

Bước 9

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Tính $2 x^{\frac{1}{2}}$ tại $4$ và tại $1$ .

$2 ((2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}) + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}]_{1}^{4}$

Bước 9.2

Tính $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ tại $4$ và tại $1$ .

$2 (2 \cdot 4^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}) + \frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

Bước 9.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$2 (2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}) + \frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

Bước 9.3.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}) + \frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

Bước 9.3.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 (2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}) + \frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

Bước 9.3.3.2

Viết lại biểu thức.

$2 (2 \cdot 2^{1} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}) + \frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

Bước 9.3.4

Tính số mũ.

$2 (2 \cdot 2 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}) + \frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

Bước 9.3.5

Nhân $2$ với $2$ .

$2 (4 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}) + \frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

Bước 9.3.6

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$2 (4 - 2 \cdot 1) + \frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

Bước 9.3.7

Nhân $- 2$ với $1$ .

$2 (4 - 2) + \frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

Bước 9.3.8

Trừ $2$ khỏi $4$ .

$2 \cdot 2 + \frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

Bước 9.3.9

Nhân $2$ với $2$ .

$4 + \frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

Bước 9.3.10

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$4 + \frac{2}{5} \cdot {(2^{2})}^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

Bước 9.3.11

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 + \frac{2}{5} \cdot 2^{2 (\frac{5}{2})} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

Bước 9.3.12

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.12.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$4 + \frac{2}{5} \cdot 2^{2 (\frac{5}{2})} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

Bước 9.3.12.2

Viết lại biểu thức.

$4 + \frac{2}{5} \cdot 2^{5} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

Bước 9.3.13

Nâng $2$ lên lũy thừa $5$ .

$4 + \frac{2}{5} \cdot 32 - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

Bước 9.3.14

Kết hợp $\frac{2}{5}$ và $32$ .

$4 + \frac{2 \cdot 32}{5} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

Bước 9.3.15

Nhân $2$ với $32$ .

$4 + \frac{64}{5} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

Bước 9.3.16

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$4 + \frac{64}{5} - \frac{2}{5} \cdot 1$

Bước 9.3.17

Nhân $- 1$ với $1$ .

$4 + \frac{64}{5} - \frac{2}{5}$

Bước 9.3.18

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$4 + \frac{64 - 2}{5}$

Bước 9.3.19

Trừ $2$ khỏi $64$ .

$4 + \frac{62}{5}$

Bước 9.3.20

Để viết $4$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{5}{5}$ .

$4 \cdot \frac{5}{5} + \frac{62}{5}$

Bước 9.3.21

Kết hợp $4$ và $\frac{5}{5}$ .

$\frac{4 \cdot 5}{5} + \frac{62}{5}$

Bước 9.3.22

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{4 \cdot 5 + 62}{5}$

Bước 9.3.23

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.23.1

Nhân $4$ với $5$ .

$\frac{20 + 62}{5}$

Bước 9.3.23.2

Cộng $20$ và $62$ .

$\frac{82}{5}$

Bước 10

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{82}{5}$

Dạng thập phân:

$16.4$

Dạng hỗn số:

$16 \frac{2}{5}$

Bước 11