Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{2} {(4 x + 1)}^{3} \cdot 4 d x$

Bước 1

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của ${(4 x + 1)}^{3}$ .

$\int_{0}^{2} 4 {(4 x + 1)}^{3} d x$

Bước 2

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $4$ ra khỏi tích phân.

$4 \int_{0}^{2} {(4 x + 1)}^{3} d x$

Bước 3

Giả sử $u = 4 x + 1$ . Sau đó $d u = 4 d x$ , nên $\frac{1}{4} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Hãy đặt $u = 4 x + 1$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Tính đạo hàm $4 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [4 x + 1]$

Bước 3.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $4 x + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 3.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.3.1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 3.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 3.1.3.3

Nhân $4$ với $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 3.1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.4.1

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$4 + 0$

Bước 3.1.4.2

Cộng $4$ và $0$ .

$4$

Bước 3.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = 4 x + 1$ .

$u_{lower} = 4 \cdot 0 + 1$

Bước 3.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Nhân $4$ với $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Bước 3.3.2

Cộng $0$ và $1$ .

$u_{lower} = 1$

Bước 3.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = 4 x + 1$ .

$u_{upper} = 4 \cdot 2 + 1$

Bước 3.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Nhân $4$ với $2$ .

$u_{upper} = 8 + 1$

Bước 3.5.2

Cộng $8$ và $1$ .

$u_{upper} = 9$

Bước 3.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 9$

Bước 3.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$4 \int_{1}^{9} u^{3} \frac{1}{4} d u$

Bước 4

Kết hợp $u^{3}$ và $\frac{1}{4}$ .

$4 \int_{1}^{9} \frac{u^{3}}{4} d u$

Bước 5

Vì $\frac{1}{4}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{4}$ ra khỏi tích phân.

$4 (\frac{1}{4} \int_{1}^{9} u^{3} d u)$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $4$ .

$\frac{4}{4} \int_{1}^{9} u^{3} d u$

Bước 6.2

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4}{4} \int_{1}^{9} u^{3} d u$

Bước 6.2.2

Viết lại biểu thức.

$1 \int_{1}^{9} u^{3} d u$

Bước 6.3

Nhân $\int_{1}^{9} u^{3} d u$ với $1$ .

$\int_{1}^{9} u^{3} d u$

Bước 7

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{3}$ đối với $u$ là $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{4} u^{4}]_{1}^{9}$

Bước 8

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Tính $\frac{1}{4} u^{4}$ tại $9$ và tại $1$ .

$(\frac{1}{4} \cdot 9^{4}) - \frac{1}{4} \cdot 1^{4}$

Bước 8.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Nâng $9$ lên lũy thừa $4$ .

$\frac{1}{4} \cdot 6561 - \frac{1}{4} \cdot 1^{4}$

Bước 8.2.2

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $6561$ .

$\frac{6561}{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4}$

Bước 8.2.3

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{6561}{4} - \frac{1}{4} \cdot 1$

Bước 8.2.4

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{6561}{4} - \frac{1}{4}$

Bước 8.2.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{6561 - 1}{4}$

Bước 8.2.6

Trừ $1$ khỏi $6561$ .

$\frac{6560}{4}$

Bước 8.2.7

Triệt tiêu thừa số chung của $6560$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.7.1

Đưa $4$ ra ngoài $6560$ .

$\frac{4 \cdot 1640}{4}$

Bước 8.2.7.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.7.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $4$ .

$\frac{4 \cdot 1640}{4 (1)}$

Bước 8.2.7.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 \cdot 1640}{4 \cdot 1}$

Bước 8.2.7.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1640}{1}$

Bước 8.2.7.2.4

Chia $1640$ cho $1$ .

$1640$

Bước 9