Giải tích Ví dụ

$f (x) = {\begin{cases} x^{2} + 1 & x < 1 \\ 2 & x = 1 \\ 7 - 5 x & x > 1 \end{cases}$

Bước 1

Tìm giới hạn của $x^{2} + 1$ khi $x$ tiến dần đến $1$ từ phía bên trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Thay đổi giới hạn hai bên thành giới hạn trái.

$lim_{x \to 1^{-}} x^{2} + 1$

Bước 1.2

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $1$ .

$lim_{x \to 1^{-}} x^{2} + lim_{x \to 1^{-}} 1$

Bước 1.2.2

Đưa số mũ $2$ từ $x^{2}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

${(lim_{x \to 1^{-}} x)}^{2} + lim_{x \to 1^{-}} 1$

Bước 1.2.3

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $1$ .

${(lim_{x \to 1^{-}} x)}^{2} + 1$

Bước 1.3

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $1$ cho $x$ .

$1^{2} + 1$

Bước 1.4

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$1 + 1$

Bước 1.4.2

Cộng $1$ và $1$ .

$2$

Bước 2

Thay thế biến $x$ bằng $1$ trong biểu thức.

$2$

Bước 3

Vì giới hạn của $x^{2} + 1$ khi $x$ tiến dần đến $1$ từ phía bên trái bằng với giá trị hàm số tại $x = 1$ , nên hàm số này liên tục tại $x = 1$ .

Liên tục

Bước 4

Tìm giới hạn của $7 - 5 x$ khi $x$ tiến dần đến $1$ từ phía bên phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Thay đổi giới hạn hai bên thành giới hạn phải.

$lim_{x \to 1^{+}} 7 - 5 x$

Bước 4.2

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $1$ .

$lim_{x \to 1^{+}} 7 - lim_{x \to 1^{+}} 5 x$

Bước 4.2.2

Tính giới hạn của $7$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $1$ .

$7 - lim_{x \to 1^{+}} 5 x$

Bước 4.2.3

Chuyển số hạng $5$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$7 - 5 lim_{x \to 1^{+}} x$

Bước 4.3

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $1$ cho $x$ .

$7 - 5 \cdot 1$

Bước 4.4

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1

Nhân $- 5$ với $1$ .

$7 - 5$

Bước 4.4.2

Trừ $5$ khỏi $7$ .

$2$

Bước 5

Thay thế biến $x$ bằng $1$ trong biểu thức.

$2$

Bước 6

Vì giới hạn của $7 - 5 x$ khi $x$ tiến dần đến $1$ từ phía bên phải bằng với giá trị hàm số tại $x = 1$ , nên hàm số liên tục tại $x = 1$ .

Liên tục

Bước 7