Đại số Ví dụ

$f (x) = - 9 \sqrt{x - 8} + 5$ , $x \geq 8$

Bước 1

Tìm khoảng biến thiên của hàm số đã cho.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Khoảng biến thiên là tập hợp của tất cả các giá trị $y$ hợp lệ. Sử dụng biểu đồ để tìm khoảng biến thiên.

$(- \infty, 5]$

Bước 1.2

Quy đổi $(- \infty, 5]$ thành một bất đẳng thức.

$y \leq 5$

Bước 2

Tìm nghịch đảo.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = - 9 \sqrt{y - 8} + 5$

Bước 2.2

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Viết lại phương trình ở dạng $- 9 \sqrt{y - 8} + 5 = x$ .

$- 9 \sqrt{y - 8} + 5 = x$

Bước 2.2.2

Trừ $5$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- 9 \sqrt{y - 8} = x - 5$

Bước 2.2.3

Để loại bỏ dấu căn ở vế trái của phương trình, ta bình phương cả hai vế của phương trình.

${(- 9 \sqrt{y - 8})}^{2} = {(x - 5)}^{2}$

Bước 2.2.4

Rút gọn mỗi vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.4.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{y - 8}$ ở dạng ${(y - 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 9 {(y - 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 5)}^{2}$

Bước 2.2.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.4.2.1

Rút gọn ${(- 9 {(y - 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.4.2.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $- 9 {(y - 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 9)}^{2} {({(y - 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 5)}^{2}$

Bước 2.2.4.2.1.2

Nâng $- 9$ lên lũy thừa $2$ .

$81 {({(y - 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 5)}^{2}$

Bước 2.2.4.2.1.3

Nhân các số mũ trong ${({(y - 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.4.2.1.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$81 {(y - 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 5)}^{2}$

Bước 2.2.4.2.1.3.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.4.2.1.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$81 {(y - 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 5)}^{2}$

Bước 2.2.4.2.1.3.2.2

Viết lại biểu thức.

$81 {(y - 8)}^{1} = {(x - 5)}^{2}$

Bước 2.2.4.2.1.4

Rút gọn.

$81 (y - 8) = {(x - 5)}^{2}$

Bước 2.2.4.2.1.5

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$81 y + 81 \cdot - 8 = {(x - 5)}^{2}$

Bước 2.2.4.2.1.6

Nhân $81$ với $- 8$ .

$81 y - 648 = {(x - 5)}^{2}$

Bước 2.2.4.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.4.3.1

Rút gọn ${(x - 5)}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.4.3.1.1

Viết lại ${(x - 5)}^{2}$ ở dạng $(x - 5) (x - 5)$ .

$81 y - 648 = (x - 5) (x - 5)$

Bước 2.2.4.3.1.2

Khai triển $(x - 5) (x - 5)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.4.3.1.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$81 y - 648 = x (x - 5) - 5 (x - 5)$

Bước 2.2.4.3.1.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$81 y - 648 = x \cdot x + x \cdot - 5 - 5 (x - 5)$

Bước 2.2.4.3.1.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$81 y - 648 = x \cdot x + x \cdot - 5 - 5 x - 5 \cdot - 5$

Bước 2.2.4.3.1.3

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.4.3.1.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.4.3.1.3.1.1

Nhân $x$ với $x$ .

$81 y - 648 = x^{2} + x \cdot - 5 - 5 x - 5 \cdot - 5$

Bước 2.2.4.3.1.3.1.2

Di chuyển $- 5$ sang phía bên trái của $x$ .

$81 y - 648 = x^{2} - 5 \cdot x - 5 x - 5 \cdot - 5$

Bước 2.2.4.3.1.3.1.3

Nhân $- 5$ với $- 5$ .

$81 y - 648 = x^{2} - 5 x - 5 x + 25$

Bước 2.2.4.3.1.3.2

Trừ $5 x$ khỏi $- 5 x$ .

$81 y - 648 = x^{2} - 10 x + 25$

Bước 2.2.5

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.5.1

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $y$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.5.1.1

Cộng $648$ cho cả hai vế của phương trình.

$81 y = x^{2} - 10 x + 25 + 648$

Bước 2.2.5.1.2

Cộng $25$ và $648$ .

$81 y = x^{2} - 10 x + 673$

Bước 2.2.5.2

Chia mỗi số hạng trong $81 y = x^{2} - 10 x + 673$ cho $81$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.5.2.1

Chia mỗi số hạng trong $81 y = x^{2} - 10 x + 673$ cho $81$ .

$\frac{81 y}{81} = \frac{x^{2}}{81} + \frac{- 10 x}{81} + \frac{673}{81}$

Bước 2.2.5.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.5.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $81$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.5.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{81 y}{81} = \frac{x^{2}}{81} + \frac{- 10 x}{81} + \frac{673}{81}$

Bước 2.2.5.2.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{81} + \frac{- 10 x}{81} + \frac{673}{81}$

Bước 2.2.5.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.5.2.3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y = \frac{x^{2}}{81} - \frac{10 x}{81} + \frac{673}{81}$

Bước 2.3

Thay thế $y$ bằng $f^{- 1} (x)$ để cho thấy đáp án cuối cùng.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{81} - \frac{10 x}{81} + \frac{673}{81}$

Bước 3

Tìm hàm nghịch đảo bằng cách sử dụng tập xác định và khoảng biến thiên của hàm số ban đầu.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{81} - \frac{10 x}{81} + \frac{673}{81}, x \leq 5$

Bước 4