Đại số Ví dụ

$\frac{x^{2} {(x + 1)}^{3}}{(x - 7) {(x + 3)}^{2} (- x^{2} - 1)} \leq 0$

Bước 1

Tìm tất cả các giá trị mà tại đó biểu thức chuyển từ âm sang dương bằng cách đặt từng thừa số bằng $0$ và giải.

$x^{2} = 0$

${(x + 1)}^{3} = 0$

$x - 7 = 0$

${(x + 3)}^{2} = 0$

$- x^{2} - 1 = 0$

Bước 2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Bước 3

Rút gọn $\pm \sqrt{0}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại $0$ ở dạng $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Bước 3.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$x = \pm 0$

Bước 3.3

Cộng hoặc trừ $0$ là $0$ .

$x = 0$

Bước 4

Đặt $x + 1$ bằng $0$ .

$x + 1 = 0$

Bước 5

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x = - 1$

Bước 6

Cộng $7$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 7$

Bước 7

Đặt $x + 3$ bằng $0$ .

$x + 3 = 0$

Bước 8

Trừ $3$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x = - 3$

Bước 9

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$- x^{2} = 1$

Bước 10

Chia mỗi số hạng trong $- x^{2} = 1$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Chia mỗi số hạng trong $- x^{2} = 1$ cho $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Bước 10.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{1}{- 1}$

Bước 10.2.2

Chia $x^{2}$ cho $1$ .

$x^{2} = \frac{1}{- 1}$

Bước 10.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.1

Chia $1$ cho $- 1$ .

$x^{2} = - 1$

Bước 11

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Bước 12

Viết lại $\sqrt{- 1}$ ở dạng $i$ .

$x = \pm i$

Bước 13

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$x = i$

Bước 13.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$x = - i$

Bước 13.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$x = i, - i$

Bước 14

Giải tìm từng thừa số để tìm các giá trị mà giá trị tuyệt đối của biểu thức đi từ âm sang dương.

$x = 0$

$x = - 1$

$x = 7$

$x = - 3$

$x = i, - i$

Bước 15

Hợp nhất các đáp án.

$x = 0, - 1, 7, - 3$

Bước 16

Tìm tập xác định của $\frac{x^{2} {(x + 1)}^{3}}{(x - 7) {(x + 3)}^{2} (- x^{2} - 1)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1

Đặt mẫu số trong $\frac{x^{2} {(x + 1)}^{3}}{(x - 7) {(x + 3)}^{2} (- x^{2} - 1)}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$(x - 7) {(x + 3)}^{2} (- x^{2} - 1) = 0$

Bước 16.2

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.2.1

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$x - 7 = 0$

${(x + 3)}^{2} = 0$

$- x^{2} - 1 = 0$

Bước 16.2.2

Đặt $x - 7$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.2.2.1

Đặt $x - 7$ bằng với $0$ .

$x - 7 = 0$

Bước 16.2.2.2

Cộng $7$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 7$

Bước 16.2.3

Đặt ${(x + 3)}^{2}$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.2.3.1

Đặt ${(x + 3)}^{2}$ bằng với $0$ .

${(x + 3)}^{2} = 0$

Bước 16.2.3.2

Giải ${(x + 3)}^{2} = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.2.3.2.1

Đặt $x + 3$ bằng $0$ .

$x + 3 = 0$

Bước 16.2.3.2.2

Trừ $3$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x = - 3$

Bước 16.2.4

Đặt $- x^{2} - 1$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.2.4.1

Đặt $- x^{2} - 1$ bằng với $0$ .

$- x^{2} - 1 = 0$

Bước 16.2.4.2

Giải $- x^{2} - 1 = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.2.4.2.1

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$- x^{2} = 1$

Bước 16.2.4.2.2

Chia mỗi số hạng trong $- x^{2} = 1$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.2.4.2.2.1

Chia mỗi số hạng trong $- x^{2} = 1$ cho $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Bước 16.2.4.2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.2.4.2.2.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{1}{- 1}$

Bước 16.2.4.2.2.2.2

Chia $x^{2}$ cho $1$ .

$x^{2} = \frac{1}{- 1}$

Bước 16.2.4.2.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.2.4.2.2.3.1

Chia $1$ cho $- 1$ .

$x^{2} = - 1$

Bước 16.2.4.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Bước 16.2.4.2.4

Viết lại $\sqrt{- 1}$ ở dạng $i$ .

$x = \pm i$

Bước 16.2.4.2.5

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.2.4.2.5.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$x = i$

Bước 16.2.4.2.5.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$x = - i$

Bước 16.2.4.2.5.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$x = i, - i$

Bước 16.2.5

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $(x - 7) {(x + 3)}^{2} (- x^{2} - 1) = 0$ đúng.

$x = 7, - 3, i, - i$

Bước 16.3

Tập xác định là tất cả các giá trị của $x$ và làm cho biểu thức xác định.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 7) \cup (7, \infty)$

Bước 17

Sử dụng mỗi nghiệm để tạo các khoảng kiểm định.

$x < - 3$

$- 3 < x < - 1$

$- 1 < x < 0$

$0 < x < 7$

$x > 7$

Bước 18

Chọn một giá trị kiểm định từ mỗi khoảng và điền giá trị này vào bất đẳng thức ban đầu để xác định khoảng nào thỏa mãn bất đẳng thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.1

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $x < - 3$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.1.1

Chọn một giá trị trên khoảng $x < - 3$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = - 6$

Bước 18.1.2

Thay thế $x$ bằng $- 6$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\frac{{(- 6)}^{2} {((- 6) + 1)}^{3}}{((- 6) - 7) {((- 6) + 3)}^{2} (- {(- 6)}^{2} - 1)} \leq 0$

Bước 18.1.3

Vế trái $- 1.\overline{039501}$ nhỏ hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

True

Bước 18.2

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $- 3 < x < - 1$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.2.1

Chọn một giá trị trên khoảng $- 3 < x < - 1$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = - 2$

Bước 18.2.2

Thay thế $x$ bằng $- 2$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\frac{{(- 2)}^{2} {((- 2) + 1)}^{3}}{((- 2) - 7) {((- 2) + 3)}^{2} (- {(- 2)}^{2} - 1)} \leq 0$

Bước 18.2.3

Vế trái $- 0.0\overline{8}$ nhỏ hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

True

Bước 18.3

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $- 1 < x < 0$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.3.1

Chọn một giá trị trên khoảng $- 1 < x < 0$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = - 0.5$

Bước 18.3.2

Thay thế $x$ bằng $- 0.5$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\frac{{(- 0.5)}^{2} {((- 0.5) + 1)}^{3}}{((- 0.5) - 7) {((- 0.5) + 3)}^{2} (- {(- 0.5)}^{2} - 1)} \leq 0$

Bước 18.3.3

Vế trái $0.0005\overline{3}$ lớn hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

False

Bước 18.4

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $0 < x < 7$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.4.1

Chọn một giá trị trên khoảng $0 < x < 7$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 4$

Bước 18.4.2

Thay thế $x$ bằng $4$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\frac{{(4)}^{2} {((4) + 1)}^{3}}{((4) - 7) {((4) + 3)}^{2} (- {(4)}^{2} - 1)} \leq 0$

Bước 18.4.3

Vế trái $0.80032012$ lớn hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

False

Bước 18.5

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $x > 7$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.5.1

Chọn một giá trị trên khoảng $x > 7$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 10$

Bước 18.5.2

Thay thế $x$ bằng $10$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\frac{{(10)}^{2} {((10) + 1)}^{3}}{((10) - 7) {((10) + 3)}^{2} (- {(10)}^{2} - 1)} \leq 0$

Bước 18.5.3

Vế trái $- 2.599254$ nhỏ hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

True

Bước 18.6

So sánh các khoảng để xác định khoảng nào thỏa mãn bất phương trình ban đầu.

$x < - 3$ Đúng

$- 3 < x < - 1$ Đúng

$- 1 < x < 0$ Sai

$0 < x < 7$ Sai

$x > 7$ Đúng

$x < - 3$ Đúng

$- 3 < x < - 1$ Đúng

$- 1 < x < 0$ Sai

$0 < x < 7$ Sai

$x > 7$ Đúng

Bước 19

Đáp án bao gồm tất cả các khoảng thực sự.

$x < - 3$ hoặc $- 3 < x \leq - 1$ hoặc $x > 7$ hoặc $x = 0$

Bước 20

Kết hợp các khoảng.

$x < - 3 or - 3 < x \leq - 1 or x = 0 or x > 7$

Bước 21

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng bất đẳng thức:

$x < - 3 or - 3 < x \leq - 1 or x = 0 or x > 7$

Ký hiệu khoảng:

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, - 1] \cup [0, 0] \cup (7, \infty)$

Bước 22