Đại số Ví dụ

$f (x) = - \frac{1}{2} \sqrt{x + 3}$ , $x \geq - 3$

Bước 1

Tìm khoảng biến thiên của hàm số đã cho.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Khoảng biến thiên là tập hợp của tất cả các giá trị $y$ hợp lệ. Sử dụng biểu đồ để tìm khoảng biến thiên.

$(- \infty, 0]$

Bước 1.2

Quy đổi $(- \infty, 0]$ thành một bất đẳng thức.

$y \leq 0$

Bước 2

Tìm nghịch đảo.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = - \frac{1}{2} \cdot \sqrt{y + 3}$

Bước 2.2

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Viết lại phương trình ở dạng $- \frac{1}{2} \cdot \sqrt{y + 3} = x$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \sqrt{y + 3} = x$

Bước 2.2.2

Nhân cả hai vế của phương trình với $- 2$ .

$- 2 (- \frac{1}{2} \cdot \sqrt{y + 3}) = - 2 x$

Bước 2.2.3

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1

Rút gọn $- 2 (- \frac{1}{2} \cdot \sqrt{y + 3})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1.1

Kết hợp $\sqrt{y + 3}$ và $\frac{1}{2}$ .

$- 2 (- \frac{\sqrt{y + 3}}{2}) = - 2 x$

Bước 2.2.3.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1.2.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{\sqrt{y + 3}}{2}$ vào tử số.

$- 2 \frac{- \sqrt{y + 3}}{2} = - 2 x$

Bước 2.2.3.1.2.2

Đưa $2$ ra ngoài $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{- \sqrt{y + 3}}{2} = - 2 x$

Bước 2.2.3.1.2.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \cdot - 1 \frac{- \sqrt{y + 3}}{2} = - 2 x$

Bước 2.2.3.1.2.4

Viết lại biểu thức.

$- - \sqrt{y + 3} = - 2 x$

Bước 2.2.3.1.3

Nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1.3.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$1 \sqrt{y + 3} = - 2 x$

Bước 2.2.3.1.3.2

Nhân $\sqrt{y + 3}$ với $1$ .

$\sqrt{y + 3} = - 2 x$

Bước 2.2.4

Để loại bỏ dấu căn ở vế trái của phương trình, ta bình phương cả hai vế của phương trình.

${\sqrt{y + 3}}^{2} = {(- 2 x)}^{2}$

Bước 2.2.5

Rút gọn mỗi vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.5.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{y + 3}$ ở dạng ${(y + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(y + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2 x)}^{2}$

Bước 2.2.5.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.5.2.1

Rút gọn ${({(y + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.5.2.1.1

Nhân các số mũ trong ${({(y + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.5.2.1.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 2 x)}^{2}$

Bước 2.2.5.2.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.5.2.1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

${(y + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 2 x)}^{2}$

Bước 2.2.5.2.1.1.2.2

Viết lại biểu thức.

${(y + 3)}^{1} = {(- 2 x)}^{2}$

Bước 2.2.5.2.1.2

Rút gọn.

$y + 3 = {(- 2 x)}^{2}$

Bước 2.2.5.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.5.3.1

Rút gọn ${(- 2 x)}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.5.3.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $- 2 x$ .

$y + 3 = {(- 2)}^{2} x^{2}$

Bước 2.2.5.3.1.2

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $2$ .

$y + 3 = 4 x^{2}$

Bước 2.2.6

Trừ $3$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$y = 4 x^{2} - 3$

Bước 2.3

Thay thế $y$ bằng $f^{- 1} (x)$ để cho thấy đáp án cuối cùng.

$f^{- 1} (x) = 4 x^{2} - 3$

Bước 3

Tìm hàm nghịch đảo bằng cách sử dụng tập xác định và khoảng biến thiên của hàm số ban đầu.

$f^{- 1} (x) = 4 x^{2} - 3, x \leq 0$

Bước 4