Đại số Ví dụ

$p (x) = (2 x^{4} - 5 x^{3} + 10 x - 25) (x^{3} + 5)$

Bước 1

Rút gọn và sắp xếp lại đa thức theo thứ tự giảm dần để sử dụng quy tắc Descartes.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Khai triển $(2 x^{4} - 5 x^{3} + 10 x - 25) (x^{3} + 5)$ bằng cách nhân mỗi số hạng trong biểu thức thứ nhất với mỗi số hạng trong biểu thức thứ hai.

$2 x^{4} x^{3} + 2 x^{4} \cdot 5 - 5 x^{3} x^{3} - 5 x^{3} \cdot 5 + 10 x \cdot x^{3} + 10 x \cdot 5 - 25 x^{3} - 25 \cdot 5$

Bước 1.2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1.1

Nhân $x^{4}$ với $x^{3}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1.1.1

Di chuyển $x^{3}$ .

$2 (x^{3} x^{4}) + 2 x^{4} \cdot 5 - 5 x^{3} x^{3} - 5 x^{3} \cdot 5 + 10 x \cdot x^{3} + 10 x \cdot 5 - 25 x^{3} - 25 \cdot 5$

Bước 1.2.1.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$2 x^{3 + 4} + 2 x^{4} \cdot 5 - 5 x^{3} x^{3} - 5 x^{3} \cdot 5 + 10 x \cdot x^{3} + 10 x \cdot 5 - 25 x^{3} - 25 \cdot 5$

Bước 1.2.1.1.3

Cộng $3$ và $4$ .

$2 x^{7} + 2 x^{4} \cdot 5 - 5 x^{3} x^{3} - 5 x^{3} \cdot 5 + 10 x \cdot x^{3} + 10 x \cdot 5 - 25 x^{3} - 25 \cdot 5$

Bước 1.2.1.2

Nhân $5$ với $2$ .

$2 x^{7} + 10 x^{4} - 5 x^{3} x^{3} - 5 x^{3} \cdot 5 + 10 x \cdot x^{3} + 10 x \cdot 5 - 25 x^{3} - 25 \cdot 5$

Bước 1.2.1.3

Nhân $x^{3}$ với $x^{3}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1.3.1

Di chuyển $x^{3}$ .

$2 x^{7} + 10 x^{4} - 5 (x^{3} x^{3}) - 5 x^{3} \cdot 5 + 10 x \cdot x^{3} + 10 x \cdot 5 - 25 x^{3} - 25 \cdot 5$

Bước 1.2.1.3.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$2 x^{7} + 10 x^{4} - 5 x^{3 + 3} - 5 x^{3} \cdot 5 + 10 x \cdot x^{3} + 10 x \cdot 5 - 25 x^{3} - 25 \cdot 5$

Bước 1.2.1.3.3

Cộng $3$ và $3$ .

$2 x^{7} + 10 x^{4} - 5 x^{6} - 5 x^{3} \cdot 5 + 10 x \cdot x^{3} + 10 x \cdot 5 - 25 x^{3} - 25 \cdot 5$

Bước 1.2.1.4

Nhân $5$ với $- 5$ .

$2 x^{7} + 10 x^{4} - 5 x^{6} - 25 x^{3} + 10 x \cdot x^{3} + 10 x \cdot 5 - 25 x^{3} - 25 \cdot 5$

Bước 1.2.1.5

Nhân $x$ với $x^{3}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1.5.1

Di chuyển $x^{3}$ .

$2 x^{7} + 10 x^{4} - 5 x^{6} - 25 x^{3} + 10 (x^{3} x) + 10 x \cdot 5 - 25 x^{3} - 25 \cdot 5$

Bước 1.2.1.5.2

Nhân $x^{3}$ với $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1.5.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$2 x^{7} + 10 x^{4} - 5 x^{6} - 25 x^{3} + 10 (x^{3} x^{1}) + 10 x \cdot 5 - 25 x^{3} - 25 \cdot 5$

Bước 1.2.1.5.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$2 x^{7} + 10 x^{4} - 5 x^{6} - 25 x^{3} + 10 x^{3 + 1} + 10 x \cdot 5 - 25 x^{3} - 25 \cdot 5$

Bước 1.2.1.5.3

Cộng $3$ và $1$ .

$2 x^{7} + 10 x^{4} - 5 x^{6} - 25 x^{3} + 10 x^{4} + 10 x \cdot 5 - 25 x^{3} - 25 \cdot 5$

Bước 1.2.1.6

Nhân $5$ với $10$ .

$2 x^{7} + 10 x^{4} - 5 x^{6} - 25 x^{3} + 10 x^{4} + 50 x - 25 x^{3} - 25 \cdot 5$

Bước 1.2.1.7

Nhân $- 25$ với $5$ .

$2 x^{7} + 10 x^{4} - 5 x^{6} - 25 x^{3} + 10 x^{4} + 50 x - 25 x^{3} - 125$

Bước 1.2.2

Rút gọn bằng cách cộng các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1

Cộng $10 x^{4}$ và $10 x^{4}$ .

$2 x^{7} + 20 x^{4} - 5 x^{6} - 25 x^{3} + 50 x - 25 x^{3} - 125$

Bước 1.2.2.2

Trừ $25 x^{3}$ khỏi $- 25 x^{3}$ .

$2 x^{7} + 20 x^{4} - 5 x^{6} - 50 x^{3} + 50 x - 125$

Bước 1.2.2.3

Di chuyển $20 x^{4}$ .

$2 x^{7} - 5 x^{6} + 20 x^{4} - 50 x^{3} + 50 x - 125$

Bước 2

Để tìm số nghiệm dương có thể, hãy xem các dấu trên của các hệ số và đếm số lần các dấu của các hệ số thay đổi từ dương sang âm hoặc âm sang dương.

$f (x) = 2 x^{7} - 5 x^{6} + 20 x^{4} - 50 x^{3} + 50 x - 125$

Bước 3

Vì có $5$ thay đổi dấu từ số hạng bậc cao nhất đến số hạng bậc thấp nhất, nên có nhiều nhất $5$ nghiệm dương (Quy tắc dấu Descartes). Các nghiệm dương khác được tìm bằng cách trừ đi các cặp nghiệm $(5 - 2)$ .

Các nghiệm dương: $5$ , $3$ , or $1$

Bước 4

Để tìm số nghiệm âm có thể có, thay thế $x$ bằng $- x$ và lặp lại việc so sánh dấu.

$f (- x) = 2 {(- x)}^{7} - 5 {(- x)}^{6} + 20 {(- x)}^{4} - 50 {(- x)}^{3} + 50 (- x) - 125$

Bước 5

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $- x$ .

$f (- x) = 2 ({(- 1)}^{7} x^{7}) - 5 {(- x)}^{6} + 20 {(- x)}^{4} - 50 {(- x)}^{3} + 50 (- x) - 125$

Bước 5.2

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $7$ .

$f (- x) = 2 (- x^{7}) - 5 {(- x)}^{6} + 20 {(- x)}^{4} - 50 {(- x)}^{3} + 50 (- x) - 125$

Bước 5.3

Nhân $- 1$ với $2$ .

$f (- x) = - 2 x^{7} - 5 {(- x)}^{6} + 20 {(- x)}^{4} - 50 {(- x)}^{3} + 50 (- x) - 125$

Bước 5.4

Áp dụng quy tắc tích số cho $- x$ .

$f (- x) = - 2 x^{7} - 5 ({(- 1)}^{6} x^{6}) + 20 {(- x)}^{4} - 50 {(- x)}^{3} + 50 (- x) - 125$

Bước 5.5

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $6$ .

$f (- x) = - 2 x^{7} - 5 (1 x^{6}) + 20 {(- x)}^{4} - 50 {(- x)}^{3} + 50 (- x) - 125$

Bước 5.6

Nhân $x^{6}$ với $1$ .

$f (- x) = - 2 x^{7} - 5 x^{6} + 20 {(- x)}^{4} - 50 {(- x)}^{3} + 50 (- x) - 125$

Bước 5.7

Áp dụng quy tắc tích số cho $- x$ .

$f (- x) = - 2 x^{7} - 5 x^{6} + 20 ({(- 1)}^{4} x^{4}) - 50 {(- x)}^{3} + 50 (- x) - 125$

Bước 5.8

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $4$ .

$f (- x) = - 2 x^{7} - 5 x^{6} + 20 (1 x^{4}) - 50 {(- x)}^{3} + 50 (- x) - 125$

Bước 5.9

Nhân $x^{4}$ với $1$ .

$f (- x) = - 2 x^{7} - 5 x^{6} + 20 x^{4} - 50 {(- x)}^{3} + 50 (- x) - 125$

Bước 5.10

Áp dụng quy tắc tích số cho $- x$ .

$f (- x) = - 2 x^{7} - 5 x^{6} + 20 x^{4} - 50 ({(- 1)}^{3} x^{3}) + 50 (- x) - 125$

Bước 5.11

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $3$ .

$f (- x) = - 2 x^{7} - 5 x^{6} + 20 x^{4} - 50 (- x^{3}) + 50 (- x) - 125$

Bước 5.12

Nhân $- 1$ với $- 50$ .

$f (- x) = - 2 x^{7} - 5 x^{6} + 20 x^{4} + 50 x^{3} + 50 (- x) - 125$

Bước 5.13

Nhân $- 1$ với $50$ .

$f (- x) = - 2 x^{7} - 5 x^{6} + 20 x^{4} + 50 x^{3} - 50 x - 125$

Bước 6

Vì có $2$ thay đổi dấu từ số hạng bậc cao nhất đến số hạng bậc thấp nhất, nên có nhiều nhất $2$ nghiệm âm (Quy tắc dấu Descartes). Các nghiệm âm khác được tìm bằng cách trừ đi các cặp nghiệm (ví dụ: $2 - 2$ ).

Các nghiệm âm: $2$ hoặc $0$

Bước 7

Số nghiệm dương có thể có là $5$ , $3$ , or $1$ và số nghiệm âm có thể có là $2$ hoặc $0$ .

Các nghiệm dương: $5$ , $3$ , or $1$

Các nghiệm âm: $2$ hoặc $0$