Đại số Ví dụ

$3 - \frac{\sqrt{21}}{3}$ , $3 + \frac{\sqrt{21}}{3}$

Bước 1

$x = 3 - \frac{\sqrt{21}}{3}$ và $x = 3 + \frac{\sqrt{21}}{3}$ là hai nghiệm thực phân biệt cho phương trình bậc hai, có nghĩa là $x - 3 - \frac{\sqrt{21}}{3}$ và $x - 3 + \frac{\sqrt{21}}{3}$ là các thừa số của phương trình bậc hai.

$(x - 3 - \frac{\sqrt{21}}{3}) (x - 3 + \frac{\sqrt{21}}{3}) = 0$

Bước 2

Khai triển $(x - 3 - \frac{\sqrt{21}}{3}) (x - 3 + \frac{\sqrt{21}}{3})$ bằng cách nhân mỗi số hạng trong biểu thức thứ nhất với mỗi số hạng trong biểu thức thứ hai.

$x \cdot x + x \cdot - 3 + x (\frac{\sqrt{21}}{3}) - 3 x - 3 \cdot - 3 - 3 \frac{\sqrt{21}}{3} - \frac{\sqrt{21}}{3} x - \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot - 3 - \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot \frac{\sqrt{21}}{3} = 0$

Bước 3

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $x \cdot x + x \cdot - 3 + x \frac{\sqrt{21}}{3} - 3 x - 3 \cdot - 3 - 3 \frac{\sqrt{21}}{3} - \frac{\sqrt{21}}{3} x - \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot - 3 - \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot \frac{\sqrt{21}}{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Sắp xếp lại các thừa số trong các số hạng $x \frac{\sqrt{21}}{3}$ và $- \frac{\sqrt{21}}{3} x$ .

$x \cdot x + x \cdot - 3 + \frac{\sqrt{21}}{3} x - 3 x - 3 \cdot - 3 - 3 \frac{\sqrt{21}}{3} - \frac{\sqrt{21}}{3} x - \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot - 3 - \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot \frac{\sqrt{21}}{3} = 0$

Bước 3.1.2

Trừ $\frac{\sqrt{21}}{3} x$ khỏi $\frac{\sqrt{21}}{3} x$ .

$x \cdot x + x \cdot - 3 + 0 - 3 x - 3 \cdot - 3 - 3 \frac{\sqrt{21}}{3} - \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot - 3 - \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot \frac{\sqrt{21}}{3} = 0$

Bước 3.1.3

Cộng $x \cdot x + x \cdot - 3$ và $0$ .

$x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3 - 3 \frac{\sqrt{21}}{3} - \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot - 3 - \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot \frac{\sqrt{21}}{3} = 0$

Bước 3.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Nhân $x$ với $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3 - 3 \frac{\sqrt{21}}{3} - \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot - 3 - \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot \frac{\sqrt{21}}{3} = 0$

Bước 3.2.2

Di chuyển $- 3$ sang phía bên trái của $x$ .

$x^{2} - 3 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 3 - 3 \frac{\sqrt{21}}{3} - \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot - 3 - \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot \frac{\sqrt{21}}{3} = 0$

Bước 3.2.3

Nhân $- 3$ với $- 3$ .

$x^{2} - 3 x - 3 x + 9 - 3 \frac{\sqrt{21}}{3} - \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot - 3 - \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot \frac{\sqrt{21}}{3} = 0$

Bước 3.2.4

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.4.1

Đưa $3$ ra ngoài $- 3$ .

$x^{2} - 3 x - 3 x + 9 + 3 (- 1) (\frac{\sqrt{21}}{3}) - \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot - 3 - \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot \frac{\sqrt{21}}{3} = 0$

Bước 3.2.4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$x^{2} - 3 x - 3 x + 9 + 3 \cdot (- 1 \frac{\sqrt{21}}{3}) - \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot - 3 - \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot \frac{\sqrt{21}}{3} = 0$

Bước 3.2.4.3

Viết lại biểu thức.

$x^{2} - 3 x - 3 x + 9 - 1 \sqrt{21} - \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot - 3 - \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot \frac{\sqrt{21}}{3} = 0$

Bước 3.2.5

Viết lại $- 1 \sqrt{21}$ ở dạng $- \sqrt{21}$ .

$x^{2} - 3 x - 3 x + 9 - \sqrt{21} - \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot - 3 - \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot \frac{\sqrt{21}}{3} = 0$

Bước 3.2.6

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.6.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{\sqrt{21}}{3}$ vào tử số.

$x^{2} - 3 x - 3 x + 9 - \sqrt{21} + \frac{- \sqrt{21}}{3} \cdot - 3 - \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot \frac{\sqrt{21}}{3} = 0$

Bước 3.2.6.2

Đưa $3$ ra ngoài $- 3$ .

$x^{2} - 3 x - 3 x + 9 - \sqrt{21} + \frac{- \sqrt{21}}{3} \cdot (3 (- 1)) - \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot \frac{\sqrt{21}}{3} = 0$

Bước 3.2.6.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$x^{2} - 3 x - 3 x + 9 - \sqrt{21} + \frac{- \sqrt{21}}{3} \cdot (3 \cdot - 1) - \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot \frac{\sqrt{21}}{3} = 0$

Bước 3.2.6.4

Viết lại biểu thức.

$x^{2} - 3 x - 3 x + 9 - \sqrt{21} - \sqrt{21} \cdot - 1 - \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot \frac{\sqrt{21}}{3} = 0$

Bước 3.2.7

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$x^{2} - 3 x - 3 x + 9 - \sqrt{21} + 1 \sqrt{21} - \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot \frac{\sqrt{21}}{3} = 0$

Bước 3.2.8

Nhân $\sqrt{21}$ với $1$ .

$x^{2} - 3 x - 3 x + 9 - \sqrt{21} + \sqrt{21} - \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot \frac{\sqrt{21}}{3} = 0$

Bước 3.2.9

Nhân $- \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot \frac{\sqrt{21}}{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.9.1

Nhân $\frac{\sqrt{21}}{3}$ với $\frac{\sqrt{21}}{3}$ .

$x^{2} - 3 x - 3 x + 9 - \sqrt{21} + \sqrt{21} - \frac{\sqrt{21} \sqrt{21}}{3 \cdot 3} = 0$

Bước 3.2.9.2

Nâng $\sqrt{21}$ lên lũy thừa $1$ .

$x^{2} - 3 x - 3 x + 9 - \sqrt{21} + \sqrt{21} - \frac{\sqrt{21} \sqrt{21}}{3 \cdot 3} = 0$

Bước 3.2.9.3

Nâng $\sqrt{21}$ lên lũy thừa $1$ .

$x^{2} - 3 x - 3 x + 9 - \sqrt{21} + \sqrt{21} - \frac{\sqrt{21} \sqrt{21}}{3 \cdot 3} = 0$

Bước 3.2.9.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$x^{2} - 3 x - 3 x + 9 - \sqrt{21} + \sqrt{21} - \frac{{\sqrt{21}}^{1 + 1}}{3 \cdot 3} = 0$

Bước 3.2.9.5

Cộng $1$ và $1$ .

$x^{2} - 3 x - 3 x + 9 - \sqrt{21} + \sqrt{21} - \frac{{\sqrt{21}}^{2}}{3 \cdot 3} = 0$

Bước 3.2.9.6

Nhân $3$ với $3$ .

$x^{2} - 3 x - 3 x + 9 - \sqrt{21} + \sqrt{21} - \frac{{\sqrt{21}}^{2}}{9} = 0$

Bước 3.2.10

Viết lại ${\sqrt{21}}^{2}$ ở dạng $21$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.10.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{21}$ ở dạng $21^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{2} - 3 x - 3 x + 9 - \sqrt{21} + \sqrt{21} - \frac{{(21^{\frac{1}{2}})}^{2}}{9} = 0$

Bước 3.2.10.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{2} - 3 x - 3 x + 9 - \sqrt{21} + \sqrt{21} - \frac{21^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{9} = 0$

Bước 3.2.10.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$x^{2} - 3 x - 3 x + 9 - \sqrt{21} + \sqrt{21} - \frac{21^{\frac{2}{2}}}{9} = 0$

Bước 3.2.10.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.10.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$x^{2} - 3 x - 3 x + 9 - \sqrt{21} + \sqrt{21} - \frac{21^{\frac{2}{2}}}{9} = 0$

Bước 3.2.10.4.2

Viết lại biểu thức.

$x^{2} - 3 x - 3 x + 9 - \sqrt{21} + \sqrt{21} - \frac{21}{9} = 0$

Bước 3.2.10.5

Tính số mũ.

$x^{2} - 3 x - 3 x + 9 - \sqrt{21} + \sqrt{21} - \frac{21}{9} = 0$

Bước 3.2.11

Triệt tiêu thừa số chung của $21$ và $9$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.11.1

Đưa $3$ ra ngoài $21$ .

$x^{2} - 3 x - 3 x + 9 - \sqrt{21} + \sqrt{21} - \frac{3 (7)}{9} = 0$

Bước 3.2.11.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.11.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $9$ .

$x^{2} - 3 x - 3 x + 9 - \sqrt{21} + \sqrt{21} - \frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 3} = 0$

Bước 3.2.11.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$x^{2} - 3 x - 3 x + 9 - \sqrt{21} + \sqrt{21} - \frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 3} = 0$

Bước 3.2.11.2.3

Viết lại biểu thức.

$x^{2} - 3 x - 3 x + 9 - \sqrt{21} + \sqrt{21} - \frac{7}{3} = 0$

Bước 3.3

Rút gọn bằng cách cộng các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $x^{2} - 3 x - 3 x + 9 - \sqrt{21} + \sqrt{21} - \frac{7}{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.1

Cộng $- \sqrt{21}$ và $\sqrt{21}$ .

$x^{2} - 3 x - 3 x + 9 + 0 - \frac{7}{3} = 0$

Bước 3.3.1.2

Cộng $x^{2} - 3 x - 3 x + 9$ và $0$ .

$x^{2} - 3 x - 3 x + 9 - \frac{7}{3} = 0$

Bước 3.3.2

Trừ $3 x$ khỏi $- 3 x$ .

$x^{2} - 6 x + 9 - \frac{7}{3} = 0$

Bước 4

Để viết $9$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$x^{2} - 6 x + 9 \cdot \frac{3}{3} - \frac{7}{3} = 0$

Bước 5

Kết hợp $9$ và $\frac{3}{3}$ .

$x^{2} - 6 x + \frac{9 \cdot 3}{3} - \frac{7}{3} = 0$

Bước 6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$x^{2} - 6 x + \frac{9 \cdot 3 - 7}{3} = 0$

Bước 7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Nhân $9$ với $3$ .

$x^{2} - 6 x + \frac{27 - 7}{3} = 0$

Bước 7.2

Trừ $7$ khỏi $27$ .

$x^{2} - 6 x + \frac{20}{3} = 0$

Bước 8

Phương trình bậc hai tổng quát sử dụng tập hợp các đáp án đã cho ${3 - \frac{\sqrt{21}}{3}, 3 + \frac{\sqrt{21}}{3}}$ là $y = x^{2} - 6 x + \frac{20}{3}$ .

$y = x^{2} - 6 x + \frac{20}{3}$

Bước 9