Đại số Ví dụ

$\frac{1}{3} + \frac{2}{9} + \frac{4}{27} + \frac{8}{81} + \frac{16}{243}$

Bước 1

Đây là dãy cấp số nhân vì giữa các số hạng kề nhau có một tỉ số chung. Trong trường hợp này, ta nhân số hạng đứng trước với $\frac{2}{3}$ sẽ cho ra số hạng kế tiếp trong dãy. Nói cách khác, $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ .

Cấp số nhân: $r = \frac{2}{3}$

Bước 2

Đây là dạng của một cấp số nhân.

$a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$

Bước 3

Thay vào các giá trị của $a_{1} = \frac{1}{3}$ và $r = \frac{2}{3}$ .

$a_{n} = \frac{1}{3} {(\frac{2}{3})}^{n - 1}$

Bước 4

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{2}{3}$ .

$a_{n} = \frac{1}{3} \cdot \frac{2^{n - 1}}{3^{n - 1}}$

Bước 5

Kết hợp.

$a_{n} = \frac{1 \cdot 2^{n - 1}}{3 \cdot 3^{n - 1}}$

Bước 6

Nhân $3$ với $3^{n - 1}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân $3$ với $3^{n - 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Nâng $3$ lên lũy thừa $1$ .

$a_{n} = \frac{1 \cdot 2^{n - 1}}{3^{1} \cdot 3^{n - 1}}$

Bước 6.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$a_{n} = \frac{1 \cdot 2^{n - 1}}{3^{1 + n - 1}}$

Bước 6.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $1 + n - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$a_{n} = \frac{1 \cdot 2^{n - 1}}{3^{n + 0}}$

Bước 6.2.2

Cộng $n$ và $0$ .

$a_{n} = \frac{1 \cdot 2^{n - 1}}{3^{n}}$

Bước 7

Nhân $2^{n - 1}$ với $1$ .

$a_{n} = \frac{2^{n - 1}}{3^{n}}$

Bước 8

Đây là công thức để tìm tổng của $n$ số hạng đầu tiên của cấp số nhân. Để tính, hãy tìm các giá trị của $r$ và $a_{1}$ .

$S_{n} = \frac{a_{1} (r^{n} - 1)}{r - 1}$

Bước 9

Thay thế các biến bằng các giá trị đã biết để tìm $S_{5}$ .

$S_{5} = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(\frac{2}{3})}^{5} - 1}{\frac{2}{3} - 1}$

Bước 10

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{2}{3}$ .

$S_{5} = \frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{2^{5}}{3^{5}} - 1}{\frac{2}{3} - 1}$

Bước 10.2

Nâng $2$ lên lũy thừa $5$ .

$S_{5} = \frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{32}{3^{5}} - 1}{\frac{2}{3} - 1}$

Bước 10.3

Nâng $3$ lên lũy thừa $5$ .

$S_{5} = \frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{32}{243} - 1}{\frac{2}{3} - 1}$

Bước 10.4

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{243}{243}$ .

$S_{5} = \frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{32}{243} - 1 \cdot \frac{243}{243}}{\frac{2}{3} - 1}$

Bước 10.5

Kết hợp $- 1$ và $\frac{243}{243}$ .

$S_{5} = \frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{32}{243} + \frac{- 1 \cdot 243}{243}}{\frac{2}{3} - 1}$

Bước 10.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$S_{5} = \frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{32 - 1 \cdot 243}{243}}{\frac{2}{3} - 1}$

Bước 10.7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.7.1

Nhân $- 1$ với $243$ .

$S_{5} = \frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{32 - 243}{243}}{\frac{2}{3} - 1}$

Bước 10.7.2

Trừ $243$ khỏi $32$ .

$S_{5} = \frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{- 211}{243}}{\frac{2}{3} - 1}$

Bước 10.8

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$S_{5} = \frac{1}{3} \cdot \frac{- \frac{211}{243}}{\frac{2}{3} - 1}$

Bước 11

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$S_{5} = \frac{1}{3} \cdot \frac{- \frac{211}{243}}{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}$

Bước 11.2

Kết hợp $- 1$ và $\frac{3}{3}$ .

$S_{5} = \frac{1}{3} \cdot \frac{- \frac{211}{243}}{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}$

Bước 11.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$S_{5} = \frac{1}{3} \cdot \frac{- \frac{211}{243}}{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}$

Bước 11.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.4.1

Nhân $- 1$ với $3$ .

$S_{5} = \frac{1}{3} \cdot \frac{- \frac{211}{243}}{\frac{2 - 3}{3}}$

Bước 11.4.2

Trừ $3$ khỏi $2$ .

$S_{5} = \frac{1}{3} \cdot \frac{- \frac{211}{243}}{\frac{- 1}{3}}$

Bước 11.5

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$S_{5} = \frac{1}{3} \cdot \frac{- \frac{211}{243}}{- \frac{1}{3}}$

Bước 12

Rút gọn biểu thức bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$S_{5} = \frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{211}{243}}{\frac{1}{3}}$

Bước 12.2

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$S_{5} = \frac{1}{3} \cdot (\frac{211}{243} \cdot 3)$

Bước 12.3

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.3.1

Đưa $3$ ra ngoài $\frac{211}{243} \cdot 3$ .

$S_{5} = \frac{1}{3} \cdot (3 \cdot \frac{211}{243})$

Bước 12.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$S_{5} = \frac{1}{3} \cdot (3 \cdot \frac{211}{243})$

Bước 12.3.3

Viết lại biểu thức.

$S_{5} = \frac{211}{243}$