Đại số Ví dụ

$\csc^{2} (x) + \tan^{2} (x) = \cot^{2} (x) + \sec^{2} (x)$

Bước 1

Bắt đầu ở vế trái.

$\csc^{2} (x) + \tan^{2} (x)$

Bước 2

Áp dụng đẳng thức Pytago đảo.

$1 + \cot^{2} (x) + \tan^{2} (x)$

Bước 3

Quy đổi sang sin và cosin.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết $\cot (x)$ ở dạng sin và cosin bằng đẳng thức thương số.

$1 + {(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2} + \tan^{2} (x)$

Bước 3.2

Viết $\tan (x)$ ở dạng sin và cosin bằng đẳng thức thương số.

$1 + {(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2} + {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}$

Bước 3.3

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$1 + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}$

Bước 3.4

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$1 + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Bước 4

Viết $1 + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ ở dạng một phân số với mẫu số $1$ .

$\frac{1 + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}}{1} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Bước 5

Cộng các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Để viết $\frac{1 + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}}{1}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{1 + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}}{1} \cdot \frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Bước 5.2

Nhân $\frac{1 + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}}{1}$ với $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{(1 + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Bước 5.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{(1 + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}) \cos^{2} (x) + \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Bước 6

Rút gọn mỗi số hạng.

$\frac{\cos^{2} (x) + \frac{\cos^{4} (x)}{\sin^{2} (x)} + \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Bước 7

Viết $\cos^{2} (x)$ ở dạng một phân số với mẫu số $1$ .

$\frac{\frac{\cos^{2} (x)}{1} + \frac{\cos^{4} (x)}{\sin^{2} (x)} + \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Bước 8

Cộng các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Để viết $\frac{\cos^{2} (x)}{1}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ .

$\frac{\frac{\cos^{2} (x)}{1} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{\cos^{4} (x)}{\sin^{2} (x)} + \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Bước 8.2

Nhân $\frac{\cos^{2} (x)}{1}$ với $\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ .

$\frac{\frac{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{\cos^{4} (x)}{\sin^{2} (x)} + \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Bước 8.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\frac{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)}{\sin^{2} (x)} + \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Bước 9

Viết $\sin^{2} (x)$ ở dạng một phân số với mẫu số $1$ .

$\frac{\frac{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{1}}{\cos^{2} (x)}$

Bước 10

Cộng các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Để viết $\frac{\sin^{2} (x)}{1}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ .

$\frac{\frac{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{1} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}}{\cos^{2} (x)}$

Bước 10.2

Nhân $\frac{\sin^{2} (x)}{1}$ với $\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ .

$\frac{\frac{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x) \sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}}{\cos^{2} (x)}$

Bước 10.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\frac{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x) + \sin^{2} (x) \sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}}{\cos^{2} (x)}$

Bước 11

Nhân ${\sin (x)}^{2}$ với ${\sin (x)}^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

$\frac{\frac{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x) + \sin^{4} (x)}{\sin^{2} (x)}}{\cos^{2} (x)}$

Bước 12

Áp dụng đẳng thức Pytago đảo.

$\frac{\frac{(1 - \sin^{2} (x)) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x) + \sin^{4} (x)}{\sin^{2} (x)}}{\cos^{2} (x)}$

Bước 13

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$\frac{(1 - {\sin (x)}^{2}) {\sin (x)}^{2} + {\cos (x)}^{4} + {\sin (x)}^{4}}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}$

Bước 13.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1 {\sin (x)}^{2} - {\sin (x)}^{2} {\sin (x)}^{2} + {\cos (x)}^{4} + {\sin (x)}^{4}}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}$

Bước 13.2.2

Nhân ${\sin (x)}^{2}$ với $1$ .

$\frac{{\sin (x)}^{2} - {\sin (x)}^{2} {\sin (x)}^{2} + {\cos (x)}^{4} + {\sin (x)}^{4}}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}$

Bước 13.2.3

Nhân ${\sin (x)}^{2}$ với ${\sin (x)}^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.3.1

Di chuyển ${\sin (x)}^{2}$ .

$\frac{{\sin (x)}^{2} - ({\sin (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}) + {\cos (x)}^{4} + {\sin (x)}^{4}}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}$

Bước 13.2.3.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{{\sin (x)}^{2} - {\sin (x)}^{2 + 2} + {\cos (x)}^{4} + {\sin (x)}^{4}}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}$

Bước 13.2.3.3

Cộng $2$ và $2$ .

$\frac{{\sin (x)}^{2} - {\sin (x)}^{4} + {\cos (x)}^{4} + {\sin (x)}^{4}}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}$

Bước 13.2.4

Cộng $- {\sin (x)}^{4}$ và ${\sin (x)}^{4}$ .

$\frac{{\sin (x)}^{2} + {\cos (x)}^{4} + 0}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}$

Bước 13.2.5

Cộng ${\sin (x)}^{2} + {\cos (x)}^{4}$ và $0$ .

$\frac{{\sin (x)}^{2} + {\cos (x)}^{4}}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}$

Bước 13.3

Nhân $\frac{{\sin (x)}^{2} + {\cos (x)}^{4}}{{\sin (x)}^{2}}$ với $\frac{1}{{\cos (x)}^{2}}$ .

$\frac{\sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)}{\sin^{2} (x) \cos^{2} (x)}$

Bước 14

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{\cos^{4} (x) + \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

Bước 15

Bây giờ hãy xét vế phải của phương trình.

$\cot^{2} (x) + \sec^{2} (x)$

Bước 16

Quy đổi sang sin và cosin.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1

Viết $\cot (x)$ ở dạng sin và cosin bằng đẳng thức thương số.

${(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2} + \sec^{2} (x)$

Bước 16.2

Áp dụng đẳng thức nghịch đảo cho $\sec (x)$ .

${(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2} + {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$

Bước 16.3

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$

Bước 16.4

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$

Bước 17

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Bước 18

Cộng các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.1

Để viết $\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} \cdot \frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Bước 18.2

Để viết $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ .

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} \cdot \frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Bước 18.3

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $\sin^{2} (x) \cos^{2} (x)$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.3.1

Nhân $\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ với $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{\cos^{2} (x) \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x) \cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Bước 18.3.2

Nhân $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ với $\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ .

$\frac{\cos^{2} (x) \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x) \cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

Bước 18.3.3

Sắp xếp lại các thừa số của $\sin^{2} (x) \cos^{2} (x)$ .

$\frac{\cos^{2} (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

Bước 18.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\cos^{2} (x) \cos^{2} (x) + \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

Bước 19

Nhân ${\cos (x)}^{2}$ với ${\cos (x)}^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

$\frac{\cos^{4} (x) + \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

Bước 20

Vì hai vế đã được chứng minh là tương đương, nên phương trình là một đẳng thức.

$\csc^{2} (x) + \tan^{2} (x) = \cot^{2} (x) + \sec^{2} (x)$ là một đẳng thức