Đại số Ví dụ

$f (x) = \frac{1}{3} \log_{4} (x)$

Bước 1

Viết $f (x) = \frac{1}{3} \log_{4} (x)$ ở dạng một phương trình.

$y = \frac{1}{3} \log_{4} (x)$

Bước 2

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = \frac{1}{3} \cdot \log_{4} (y)$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại phương trình ở dạng $\frac{1}{3} \cdot \log_{4} (y) = x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \log_{4} (y) = x$

Bước 3.2

Nhân cả hai vế của phương trình với $3$ .

$3 (\frac{1}{3} \cdot \log_{4} (y)) = 3 x$

Bước 3.3

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Rút gọn $3 (\frac{1}{3} \cdot \log_{4} (y))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.1

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $\log_{4} (y)$ .

$3 \frac{\log_{4} (y)}{3} = 3 x$

Bước 3.3.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$3 \frac{\log_{4} (y)}{3} = 3 x$

Bước 3.3.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$\log_{4} (y) = 3 x$

Bước 3.4

Viết lại $\log_{4} (y) = 3 x$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$4^{3 x} = y$

Bước 3.5

Viết lại phương trình ở dạng $y = 4^{3 x}$ .

$y = 4^{3 x}$

Bước 4

Thay thế $y$ bằng $f^{- 1} (x)$ để cho thấy đáp án cuối cùng.

$f^{- 1} (x) = 4^{3 x}$

Bước 5

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = 4^{3 x}$ có là hàm ngược của $f (x) = \frac{1}{3} \cdot \log_{4} (x)$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Để kiểm tra có phải là hàm ngược không, ta kiểm tra xem $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ không.

Bước 5.2

Tính $f^{- 1} (f (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Lập hàm hợp.

$f^{- 1} (f (x))$

Bước 5.2.2

Tính $f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot \log_{4} (x))$ bằng cách thay giá trị của $f$ vào $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot \log_{4} (x)) = 4^{3 (\frac{1}{3} \cdot \log_{4} (x))}$

Bước 5.2.3

Rút gọn $\frac{1}{3} \log_{4} (x)$ bằng cách di chuyển $\frac{1}{3}$ trong logarit.

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot \log_{4} (x)) = 4^{3 \log_{4} (x^{\frac{1}{3}})}$

Bước 5.2.4

Rút gọn $3 \log_{4} (x^{\frac{1}{3}})$ bằng cách di chuyển $3$ trong logarit.

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot \log_{4} (x)) = 4^{\log_{4} ({(x^{\frac{1}{3}})}^{3})}$

Bước 5.2.5

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot \log_{4} (x)) = {(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$

Bước 5.2.6

Nhân các số mũ trong ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.6.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot \log_{4} (x)) = x^{\frac{1}{3} \cdot 3}$

Bước 5.2.6.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.6.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot \log_{4} (x)) = x^{\frac{1}{3} \cdot 3}$

Bước 5.2.6.2.2

Viết lại biểu thức.

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot \log_{4} (x)) = x$

Bước 5.3

Tính $f (f^{- 1} (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Lập hàm hợp.

$f (f^{- 1} (x))$

Bước 5.3.2

Tính $f (4^{3 x})$ bằng cách thay giá trị của $f^{- 1}$ vào $f$ .

$f (4^{3 x}) = \frac{1}{3} \cdot \log_{4} (4^{3 x})$

Bước 5.3.3

Sử dụng các quy tắc logarit để di chuyển $3 x$ ra khỏi số mũ.

$f (4^{3 x}) = \frac{1}{3} \cdot (3 x \log_{4} (4))$

Bước 5.3.4

Logarit cơ số $4$ của $4$ là $1$ .

$f (4^{3 x}) = \frac{1}{3} \cdot (3 x \cdot 1)$

Bước 5.3.5

Nhân $3$ với $1$ .

$f (4^{3 x}) = \frac{1}{3} \cdot (3 x)$

Bước 5.3.6

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.6.1

Đưa $3$ ra ngoài $3 x$ .

$f (4^{3 x}) = \frac{1}{3} \cdot (3 (x))$

Bước 5.3.6.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (4^{3 x}) = \frac{1}{3} \cdot (3 x)$

Bước 5.3.6.3

Viết lại biểu thức.

$f (4^{3 x}) = x$

Bước 5.4

Vì $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ , nên $f^{- 1} (x) = 4^{3 x}$ là hàm ngược của $f (x) = \frac{1}{3} \cdot \log_{4} (x)$ .

$f^{- 1} (x) = 4^{3 x}$