Đại số Ví dụ

$\frac{2}{x^{2} - 3 x + 2} \leq \frac{6}{x^{2} - 4}$

Bước 1

Giải $x < - 2 or 1 < x < 2 or x \geq \frac{5}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Nhân cả hai vế với $x^{2} - 3 x + 2$ .

$\frac{2}{x^{2} - 3 x + 2} (x^{2} - 3 x + 2) = \frac{6}{x^{2} - 4} (x^{2} - 3 x + 2)$

Bước 1.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $x^{2} - 3 x + 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2}{x^{2} - 3 x + 2} (x^{2} - 3 x + 2) = \frac{6}{x^{2} - 4} (x^{2} - 3 x + 2)$

Bước 1.2.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$2 = \frac{6}{x^{2} - 4} (x^{2} - 3 x + 2)$

Bước 1.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1

Rút gọn $\frac{6}{x^{2} - 4} (x^{2} - 3 x + 2)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1.1

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1.1.1

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$2 = \frac{6}{x^{2} - 2^{2}} (x^{2} - 3 x + 2)$

Bước 1.2.2.1.1.2

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = x$ và $b = 2$ .

$2 = \frac{6}{(x + 2) (x - 2)} (x^{2} - 3 x + 2)$

Bước 1.2.2.1.2

Nhân $\frac{6}{(x + 2) (x - 2)}$ với $x^{2} - 3 x + 2$ .

$2 = \frac{6 (x^{2} - 3 x + 2)}{(x + 2) (x - 2)}$

Bước 1.2.2.1.3

Phân tích $x^{2} - 3 x + 2$ thành thừa số bằng phương pháp AC.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1.3.1

Xét dạng $x^{2} + b x + c$ . Tìm một cặp số nguyên mà tích số của chúng là $c$ và tổng của chúng là $b$ . Trong trường hợp này, tích số của chúng là $2$ và tổng của chúng là $- 3$ .

$- 2, - 1$

Bước 1.2.2.1.3.2

Viết dạng đã được phân tích thành thừa số bằng các số nguyên này.

$2 = \frac{6 ((x - 2) (x - 1))}{(x + 2) (x - 2)}$

$2 = \frac{6 (x - 2) (x - 1)}{(x + 2) (x - 2)}$

Bước 1.2.2.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $x - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 = \frac{6 (x - 2) (x - 1)}{(x + 2) (x - 2)}$

Bước 1.2.2.1.4.2

Viết lại biểu thức.

$2 = \frac{6 (x - 1)}{x + 2}$

Bước 1.3

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Viết lại phương trình ở dạng $\frac{6 (x - 1)}{x + 2} = 2$ .

$\frac{6 (x - 1)}{x + 2} = 2$

Bước 1.3.2

Tìm mẫu số chung nhỏ nhất của các số hạng trong phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.1

Tìm MCNN của các giá trị cũng giống như tìm BCNN của các mẫu số của các giá trị đó.

$x + 2, 1$

Bước 1.3.2.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$x + 2, 1$

Bước 1.3.2.3

BCNN của một và bất kỳ biểu thức nào chính là biểu thức đó.

$x + 2$

Bước 1.3.3

Nhân mỗi số hạng trong $\frac{6 (x - 1)}{x + 2} = 2$ với $x + 2$ để loại bỏ các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.3.1

Nhân mỗi số hạng trong $\frac{6 (x - 1)}{x + 2} = 2$ với $x + 2$ .

$\frac{6 (x - 1)}{x + 2} (x + 2) = 2 (x + 2)$

Bước 1.3.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x + 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{6 (x - 1)}{x + 2} (x + 2) = 2 (x + 2)$

Bước 1.3.3.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$6 (x - 1) = 2 (x + 2)$

Bước 1.3.3.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$6 x + 6 \cdot - 1 = 2 (x + 2)$

Bước 1.3.3.2.3

Nhân $6$ với $- 1$ .

$6 x - 6 = 2 (x + 2)$

Bước 1.3.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.3.3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$6 x - 6 = 2 x + 2 \cdot 2$

Bước 1.3.3.3.2

Nhân $2$ với $2$ .

$6 x - 6 = 2 x + 4$

Bước 1.3.4

Giải phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.4.1

Di chuyển tất cả các số hạng chứa $x$ sang vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.4.1.1

Trừ $2 x$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$6 x - 6 - 2 x = 4$

Bước 1.3.4.1.2

Trừ $2 x$ khỏi $6 x$ .

$4 x - 6 = 4$

Bước 1.3.4.2

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $x$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.4.2.1

Cộng $6$ cho cả hai vế của phương trình.

$4 x = 4 + 6$

Bước 1.3.4.2.2

Cộng $4$ và $6$ .

$4 x = 10$

Bước 1.3.4.3

Chia mỗi số hạng trong $4 x = 10$ cho $4$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.4.3.1

Chia mỗi số hạng trong $4 x = 10$ cho $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{10}{4}$

Bước 1.3.4.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.4.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.4.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 x}{4} = \frac{10}{4}$

Bước 1.3.4.3.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{10}{4}$

Bước 1.3.4.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.4.3.3.1

Triệt tiêu thừa số chung của $10$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.4.3.3.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $10$ .

$x = \frac{2 (5)}{4}$

Bước 1.3.4.3.3.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.4.3.3.1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$x = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 2}$

Bước 1.3.4.3.3.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$x = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 2}$

Bước 1.3.4.3.3.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$x = \frac{5}{2}$

Bước 1.4

Tìm tập xác định của $\frac{2}{(x - 2) (x - 1)} - \frac{6}{(x + 2) (x - 2)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Đặt mẫu số trong $\frac{2}{(x - 2) (x - 1)}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$(x - 2) (x - 1) = 0$

Bước 1.4.2

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.1

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$x - 2 = 0$

$x - 1 = 0$

Bước 1.4.2.2

Đặt $x - 2$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.2.1

Đặt $x - 2$ bằng với $0$ .

$x - 2 = 0$

Bước 1.4.2.2.2

Cộng $2$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 2$

Bước 1.4.2.3

Đặt $x - 1$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.3.1

Đặt $x - 1$ bằng với $0$ .

$x - 1 = 0$

Bước 1.4.2.3.2

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 1$

Bước 1.4.2.4

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $(x - 2) (x - 1) = 0$ đúng.

$x = 2, 1$

Bước 1.4.3

Đặt mẫu số trong $\frac{6}{(x + 2) (x - 2)}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$(x + 2) (x - 2) = 0$

Bước 1.4.4

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.4.1

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

Bước 1.4.4.2

Đặt $x + 2$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.4.2.1

Đặt $x + 2$ bằng với $0$ .

$x + 2 = 0$

Bước 1.4.4.2.2

Trừ $2$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x = - 2$

Bước 1.4.4.3

Đặt $x - 2$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.4.3.1

Đặt $x - 2$ bằng với $0$ .

$x - 2 = 0$

Bước 1.4.4.3.2

Cộng $2$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 2$

Bước 1.4.4.4

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $(x + 2) (x - 2) = 0$ đúng.

$x = - 2, 2$

Bước 1.4.5

Tập xác định là tất cả các giá trị của $x$ và làm cho biểu thức xác định.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 1) \cup (1, 2) \cup (2, \infty)$

Bước 1.5

Sử dụng mỗi nghiệm để tạo các khoảng kiểm định.

$x < - 2$

$- 2 < x < 1$

$1 < x < 2$

$2 < x < \frac{5}{2}$

$x > \frac{5}{2}$

Bước 1.6

Chọn một giá trị kiểm định từ mỗi khoảng và điền giá trị này vào bất đẳng thức ban đầu để xác định khoảng nào thỏa mãn bất đẳng thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.1

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $x < - 2$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.1.1

Chọn một giá trị trên khoảng $x < - 2$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = - 4$

Bước 1.6.1.2

Thay thế $x$ bằng $- 4$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\frac{2}{{(- 4)}^{2} - 3 \cdot - 4 + 2} \leq \frac{6}{{(- 4)}^{2} - 4}$

Bước 1.6.1.3

Vế trái $0.0\overline{6}$ nhỏ hơn vế phải $0.5$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

True

Bước 1.6.2

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $- 2 < x < 1$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.2.1

Chọn một giá trị trên khoảng $- 2 < x < 1$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 0$

Bước 1.6.2.2

Thay thế $x$ bằng $0$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\frac{2}{{(0)}^{2} - 3 \cdot 0 + 2} \leq \frac{6}{{(0)}^{2} - 4}$

Bước 1.6.2.3

Vế trái $1$ lớn hơn vế phải $- 1.5$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

False

Bước 1.6.3

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $1 < x < 2$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.3.1

Chọn một giá trị trên khoảng $1 < x < 2$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 1.5$

Bước 1.6.3.2

Thay thế $x$ bằng $1.5$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\frac{2}{{(1.5)}^{2} - 3 \cdot 1.5 + 2} \leq \frac{6}{{(1.5)}^{2} - 4}$

Bước 1.6.3.3

Vế trái $- 8$ nhỏ hơn vế phải $- 3.\overline{428571}$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

True

Bước 1.6.4

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $2 < x < \frac{5}{2}$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.4.1

Chọn một giá trị trên khoảng $2 < x < \frac{5}{2}$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 2.25$

Bước 1.6.4.2

Thay thế $x$ bằng $2.25$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\frac{2}{{(2.25)}^{2} - 3 \cdot 2.25 + 2} \leq \frac{6}{{(2.25)}^{2} - 4}$

Bước 1.6.4.3

Vế trái $6.4$ lớn hơn vế phải $5.64705882$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

False

Bước 1.6.5

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $x > \frac{5}{2}$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.5.1

Chọn một giá trị trên khoảng $x > \frac{5}{2}$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 5$

Bước 1.6.5.2

Thay thế $x$ bằng $5$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\frac{2}{{(5)}^{2} - 3 \cdot 5 + 2} \leq \frac{6}{{(5)}^{2} - 4}$

Bước 1.6.5.3

Vế trái $0.1\overline{6}$ nhỏ hơn vế phải $0.\overline{285714}$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

True

Bước 1.6.6

So sánh các khoảng để xác định khoảng nào thỏa mãn bất phương trình ban đầu.

$x < - 2$ Đúng

$- 2 < x < 1$ Sai

$1 < x < 2$ Đúng

$2 < x < \frac{5}{2}$ Sai

$x > \frac{5}{2}$ Đúng

$x < - 2$ Đúng

$- 2 < x < 1$ Sai

$1 < x < 2$ Đúng

$2 < x < \frac{5}{2}$ Sai

$x > \frac{5}{2}$ Đúng

Bước 1.7

Đáp án bao gồm tất cả các khoảng thực sự.

$x < - 2$ hoặc $1 < x < 2$ hoặc $x \geq \frac{5}{2}$

Bước 2

Sử dụng bất đẳng thức $x < - 2 or 1 < x < 2 or x \geq \frac{5}{2}$ để thiết lập biểu diễn tập hợp.

${x | x < - 2 or 1 < x < 2 or x \geq \frac{5}{2}}$

Bước 3