Đại số Ví dụ

$t^{4} \ln (t)$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ là $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ trong đó $f (t) = t^{4}$ và $g (t) = \ln (t)$ .

$f' (t) = t^{4} \frac{d}{d t} (\ln (t)) + \ln (t) \frac{d}{d t} (t^{4})$

Bước 1.2

Đạo hàm của $\ln (t)$ đối với $t$ là $\frac{1}{t}$ .

$f' (t) = t^{4} (\frac{1}{t}) + \ln (t) \frac{d}{d t} (t^{4})$

Bước 1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Kết hợp $t^{4}$ và $\frac{1}{t}$ .

$f' (t) = \frac{t^{4}}{t} + \ln (t) \frac{d}{d t} (t^{4})$

Bước 1.3.2

Triệt tiêu thừa số chung của $t^{4}$ và $t$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.1

Đưa $t$ ra ngoài $t^{4}$ .

$f' (t) = \frac{t \cdot t^{3}}{t} + \ln (t) \frac{d}{d t} (t^{4})$

Bước 1.3.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.2.1

Nâng $t$ lên lũy thừa $1$ .

$f' (t) = \frac{t \cdot t^{3}}{t} + \ln (t) \frac{d}{d t} (t^{4})$

Bước 1.3.2.2.2

Đưa $t$ ra ngoài $t^{1}$ .

$f' (t) = \frac{t \cdot t^{3}}{t \cdot 1} + \ln (t) \frac{d}{d t} (t^{4})$

Bước 1.3.2.2.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$f' (t) = \frac{t \cdot t^{3}}{t \cdot 1} + \ln (t) \frac{d}{d t} (t^{4})$

Bước 1.3.2.2.4

Viết lại biểu thức.

$f' (t) = \frac{t^{3}}{1} + \ln (t) \frac{d}{d t} (t^{4})$

Bước 1.3.2.2.5

Chia $t^{3}$ cho $1$ .

$f' (t) = t^{3} + \ln (t) \frac{d}{d t} (t^{4})$

Bước 1.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$f' (t) = t^{3} + \ln (t) (4 t^{3})$

Bước 1.3.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$f' (t) = t^{3} + 4 t^{3} \ln (t)$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $t^{3} + 4 t^{3} \ln (t)$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [4 t^{3} \ln (t)]$ .

$f'' (t) = \frac{d}{d t} (t^{3}) + \frac{d}{d t} (4 t^{3} \ln (t))$

Bước 2.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$f'' (t) = 3 t^{2} + \frac{d}{d t} (4 t^{3} \ln (t))$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d t} [4 t^{3} \ln (t)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $4$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $4 t^{3} \ln (t)$ đối với $t$ là $4 \frac{d}{d t} [t^{3} \ln (t)]$ .

$f'' (t) = 3 t^{2} + 4 \frac{d}{d t} (t^{3} \ln (t))$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ là $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ trong đó $f (t) = t^{3}$ và $g (t) = \ln (t)$ .

$f'' (t) = 3 t^{2} + 4 (t^{3} \frac{d}{d t} (\ln (t)) + \ln (t) \frac{d}{d t} (t^{3}))$

Bước 2.2.3

Đạo hàm của $\ln (t)$ đối với $t$ là $\frac{1}{t}$ .

$f'' (t) = 3 t^{2} + 4 (t^{3} (\frac{1}{t}) + \ln (t) \frac{d}{d t} (t^{3}))$

Bước 2.2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$f'' (t) = 3 t^{2} + 4 (t^{3} (\frac{1}{t}) + \ln (t) (3 t^{2}))$

Bước 2.2.5

Kết hợp $t^{3}$ và $\frac{1}{t}$ .

$f'' (t) = 3 t^{2} + 4 (\frac{t^{3}}{t} + \ln (t) (3 t^{2}))$

Bước 2.2.6

Triệt tiêu thừa số chung của $t^{3}$ và $t$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.6.1

Đưa $t$ ra ngoài $t^{3}$ .

$f'' (t) = 3 t^{2} + 4 (\frac{t \cdot t^{2}}{t} + \ln (t) (3 t^{2}))$

Bước 2.2.6.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.6.2.1

Nâng $t$ lên lũy thừa $1$ .

$f'' (t) = 3 t^{2} + 4 (\frac{t \cdot t^{2}}{t} + \ln (t) (3 t^{2}))$

Bước 2.2.6.2.2

Đưa $t$ ra ngoài $t^{1}$ .

$f'' (t) = 3 t^{2} + 4 (\frac{t \cdot t^{2}}{t \cdot 1} + \ln (t) (3 t^{2}))$

Bước 2.2.6.2.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$f'' (t) = 3 t^{2} + 4 (\frac{t \cdot t^{2}}{t \cdot 1} + \ln (t) (3 t^{2}))$

Bước 2.2.6.2.4

Viết lại biểu thức.

$f'' (t) = 3 t^{2} + 4 (\frac{t^{2}}{1} + \ln (t) (3 t^{2}))$

Bước 2.2.6.2.5

Chia $t^{2}$ cho $1$ .

$f'' (t) = 3 t^{2} + 4 (t^{2} + \ln (t) (3 t^{2}))$

Bước 2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f'' (t) = 3 t^{2} + 4 t^{2} + 4 (\ln (t) (3 t^{2}))$

Bước 2.3.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Nhân $3$ với $4$ .

$f'' (t) = 3 t^{2} + 4 t^{2} + 12 (\ln (t) (t^{2}))$

Bước 2.3.2.2

Cộng $3 t^{2}$ và $4 t^{2}$ .

$f'' (t) = 7 t^{2} + 12 \ln (t) t^{2}$

Bước 2.3.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$f'' (t) = 7 t^{2} + 12 t^{2} \ln (t)$