Đại số Ví dụ

$f (x) = - 2 x^{4} + 13 x^{3} - 21 x^{2} + 2 x + 8$

Bước 1

Nhóm các số hạng lại lần nữa.

$f (x) = - 2 x^{4} + 2 x + 13 x^{3} - 21 x^{2} + 8$

Bước 2

Đưa $- 2 x$ ra ngoài $- 2 x^{4} + 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Đưa $- 2 x$ ra ngoài $- 2 x^{4}$ .

$f (x) = - 2 x \cdot x^{3} + 2 x + 13 x^{3} - 21 x^{2} + 8$

Bước 2.2

Đưa $- 2 x$ ra ngoài $2 x$ .

$f (x) = - 2 x \cdot x^{3} - 2 x \cdot - 1 + 13 x^{3} - 21 x^{2} + 8$

Bước 2.3

Đưa $- 2 x$ ra ngoài $- 2 x (x^{3}) - 2 x (- 1)$ .

$f (x) = - 2 x (x^{3} - 1) + 13 x^{3} - 21 x^{2} + 8$

Bước 3

Viết lại $1$ ở dạng $1^{3}$ .

$f (x) = - 2 x (x^{3} - 1^{3}) + 13 x^{3} - 21 x^{2} + 8$

Bước 4

Vì cả hai số hạng đều là các số lập phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai lập phương, $a^{3} - i^{3} = (a - i) (a^{2} + a i + i^{2})$ trong đó $a = x$ và $i = 1$ .

$f (x) = - 2 x ((x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2})) + 13 x^{3} - 21 x^{2} + 8$

Bước 5

Phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Nhân $x$ với $1$ .

$f (x) = - 2 x ((x - 1) (x^{2} + x + 1^{2})) + 13 x^{3} - 21 x^{2} + 8$

Bước 5.1.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$f (x) = - 2 x ((x - 1) (x^{2} + x + 1)) + 13 x^{3} - 21 x^{2} + 8$

Bước 5.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$f (x) = - 2 x (x - 1) (x^{2} + x + 1) + 13 x^{3} - 21 x^{2} + 8$

Bước 6

Phân tích $13 x^{3} - 21 x^{2} + 8$ thành thừa số bằng phương pháp kiểm tra nghiệm hữu tỉ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nếu một hàm đa thức có các hệ số là số nguyên, thì mọi điểm zero hữu tỉ sẽ có dạng $\frac{p}{q}$ trong đó $p$ là một thừa số của hằng số và $q$ là một thừa số của hệ số cao nhất.

$f (x) = p = \pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

$q = \pm 1, \pm 13$

Bước 6.2

Tìm tất cả các tổ hợp của $\pm \frac{p}{q}$ . Đây là những nghiệm có thể có của các hàm số đa thức.

$f (x) = \pm 1, \pm 0.\overline{076923}, \pm 8, \pm 0.\overline{615384}, \pm 2, \pm 0.\overline{153846}, \pm 4, \pm 0.\overline{307692}$

Bước 6.3

Thay $1$ và rút gọn biểu thức. Trong trường hợp này, biểu thức bằng $0$ vì vậy $1$ là một nghiệm của đa thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Thay $1$ vào đa thức.

$f (x) = 13 \cdot 1^{3} - 21 \cdot 1^{2} + 8$

Bước 6.3.2

Nâng $1$ lên lũy thừa $3$ .

$f (x) = 13 \cdot 1 - 21 \cdot 1^{2} + 8$

Bước 6.3.3

Nhân $13$ với $1$ .

$f (x) = 13 - 21 \cdot 1^{2} + 8$

Bước 6.3.4

Nâng $1$ lên lũy thừa $2$ .

$f (x) = 13 - 21 \cdot 1 + 8$

Bước 6.3.5

Nhân $- 21$ với $1$ .

$f (x) = 13 - 21 + 8$

Bước 6.3.6

Trừ $21$ khỏi $13$ .

$f (x) = - 8 + 8$

Bước 6.3.7

Cộng $- 8$ và $8$ .

$f (x) = 0$

Bước 6.4

Vì $1$ là một nghiệm đã biết, chia đa thức cho $x - 1$ để tìm thương đa thức. Đa thức này sau đó có thể được sử dụng để tìm các nghiệm còn lại.

$f (x) = \frac{13 x^{3} - 21 x^{2} + 8}{x - 1}$

Bước 6.5

Chia $13 x^{3} - 21 x^{2} + 8$ cho $x - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.1

Lập các đa thức được chia. Nếu không có đủ số hạng cho mọi số mũ, hãy chèn một số hạng có giá trị $0$ .

$f (x) =$

Bước 6.5.2

Chia số hạng bậc cao nhất trong biểu thức bị chia $13 x^{3}$ cho số hạng bậc cao nhất trong biểu thức chia $x$ .

$f (x) =$

Bước 6.5.3

Nhân số hạng thương số mới với số chia.

$f (x) =$

Bước 6.5.4

Biểu thức cần được trừ khỏi số bị chia, vì vậy hãy đổi tất cả các dấu trong $13 x^{3} - 13 x^{2}$

$f (x) =$

Bước 6.5.5

Sau khi đổi các dấu, cộng số bị chia cuối cùng của đa thức từ phép nhân để tìm số bị chia mới.

$f (x) =$

Bước 6.5.6

Đưa các số hạng tiếp theo từ biểu thức bị chia ban đầu xuống dưới biểu thức bị chia hiện tại.

$f (x) =$

Bước 6.5.7

Chia số hạng bậc cao nhất trong biểu thức bị chia $- 8 x^{2}$ cho số hạng bậc cao nhất trong biểu thức chia $x$ .

$f (x) =$

Bước 6.5.8

Nhân số hạng thương số mới với số chia.

$f (x) =$

Bước 6.5.9

Biểu thức cần được trừ khỏi số bị chia, vì vậy hãy đổi tất cả các dấu trong $- 8 x^{2} + 8 x$

$f (x) =$

Bước 6.5.10

Sau khi đổi các dấu, cộng số bị chia cuối cùng của đa thức từ phép nhân để tìm số bị chia mới.

$f (x) =$

Bước 6.5.11

Đưa các số hạng tiếp theo từ biểu thức bị chia ban đầu xuống dưới biểu thức bị chia hiện tại.

$f (x) =$

Bước 6.5.12

Chia số hạng bậc cao nhất trong biểu thức bị chia $- 8 x$ cho số hạng bậc cao nhất trong biểu thức chia $x$ .

$f (x) =$

Bước 6.5.13

Nhân số hạng thương số mới với số chia.

$f (x) =$

Bước 6.5.14

Biểu thức cần được trừ khỏi số bị chia, vì vậy hãy đổi tất cả các dấu trong $- 8 x + 8$

$f (x) =$

Bước 6.5.15

Sau khi đổi các dấu, cộng số bị chia cuối cùng của đa thức từ phép nhân để tìm số bị chia mới.

$f (x) =$

Bước 6.5.16

Vì số dư là $0$ , nên câu trả lời cuối cùng là thương.

$f (x) = 13 x^{2} - 8 x - 8$

Bước 6.6

Viết $13 x^{3} - 21 x^{2} + 8$ ở dạng một tập hợp các thừa số.

$f (x) = - 2 x (x - 1) (x^{2} + x + 1) + (x - 1) (13 x^{2} - 8 x - 8)$

Bước 7

Đưa $x - 1$ ra ngoài $- 2 x (x - 1) (x^{2} + x + 1) + (x - 1) (13 x^{2} - 8 x - 8)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Đưa $x - 1$ ra ngoài $- 2 x (x - 1) (x^{2} + x + 1)$ .

$f (x) = (x - 1) (- 2 x (x^{2} + x + 1)) + (x - 1) (13 x^{2} - 8 x - 8)$

Bước 7.2

Đưa $x - 1$ ra ngoài $(x - 1) (- 2 x (x^{2} + x + 1)) + (x - 1) (13 x^{2} - 8 x - 8)$ .

$f (x) = (x - 1) (- 2 x (x^{2} + x + 1) + 13 x^{2} - 8 x - 8)$

Bước 8

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (x) = (x - 1) (- 2 x \cdot x^{2} - 2 x \cdot x - 2 x \cdot 1 + 13 x^{2} - 8 x - 8)$

Bước 9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Nhân $x$ với $x^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Di chuyển $x^{2}$ .

$f (x) = (x - 1) (- 2 (x^{2} x) - 2 x \cdot x - 2 x \cdot 1 + 13 x^{2} - 8 x - 8)$

Bước 9.1.2

Nhân $x^{2}$ với $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$f (x) = (x - 1) (- 2 (x^{2} x) - 2 x \cdot x - 2 x \cdot 1 + 13 x^{2} - 8 x - 8)$

Bước 9.1.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f (x) = (x - 1) (- 2 x^{2 + 1} - 2 x \cdot x - 2 x \cdot 1 + 13 x^{2} - 8 x - 8)$

Bước 9.1.3

Cộng $2$ và $1$ .

$f (x) = (x - 1) (- 2 x^{3} - 2 x \cdot x - 2 x \cdot 1 + 13 x^{2} - 8 x - 8)$

Bước 9.2

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Di chuyển $x$ .

$f (x) = (x - 1) (- 2 x^{3} - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot 1 + 13 x^{2} - 8 x - 8)$

Bước 9.2.2

Nhân $x$ với $x$ .

$f (x) = (x - 1) (- 2 x^{3} - 2 x^{2} - 2 x \cdot 1 + 13 x^{2} - 8 x - 8)$

Bước 9.3

Nhân $- 2$ với $1$ .

$f (x) = (x - 1) (- 2 x^{3} - 2 x^{2} - 2 x + 13 x^{2} - 8 x - 8)$

Bước 10

Cộng $- 2 x^{2}$ và $13 x^{2}$ .

$f (x) = (x - 1) (- 2 x^{3} + 11 x^{2} - 2 x - 8 x - 8)$

Bước 11

Trừ $8 x$ khỏi $- 2 x$ .

$f (x) = (x - 1) (- 2 x^{3} + 11 x^{2} - 10 x - 8)$

Bước 12

Phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Viết lại $- 2 x^{3} + 11 x^{2} - 10 x - 8$ ở dạng đã được phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.1

Phân tích $- 2 x^{3} + 11 x^{2} - 10 x - 8$ thành thừa số bằng phương pháp kiểm tra nghiệm hữu tỉ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.1.1

$f (x) = p = \pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

$q = \pm 1, \pm 2$

Bước 12.1.1.2

Tìm tất cả các tổ hợp của $\pm \frac{p}{q}$ . Đây là những nghiệm có thể có của các hàm số đa thức.

$f (x) = \pm 1, \pm 0.5, \pm 8, \pm 4, \pm 2$

Bước 12.1.1.3

Thay $- 0.5$ và rút gọn biểu thức. Trong trường hợp này, biểu thức bằng $0$ vì vậy $- 0.5$ là một nghiệm của đa thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.1.3.1

Thay $- 0.5$ vào đa thức.

$f (x) = - 2 {(- 0.5)}^{3} + 11 {(- 0.5)}^{2} - 10 \cdot - 0.5 - 8$

Bước 12.1.1.3.2

Nâng $- 0.5$ lên lũy thừa $3$ .

$f (x) = - 2 \cdot - 0.125 + 11 {(- 0.5)}^{2} - 10 \cdot - 0.5 - 8$

Bước 12.1.1.3.3

Nhân $- 2$ với $- 0.125$ .

$f (x) = 0.25 + 11 {(- 0.5)}^{2} - 10 \cdot - 0.5 - 8$

Bước 12.1.1.3.4

Nâng $- 0.5$ lên lũy thừa $2$ .

$f (x) = 0.25 + 11 \cdot 0.25 - 10 \cdot - 0.5 - 8$

Bước 12.1.1.3.5

Nhân $11$ với $0.25$ .

$f (x) = 0.25 + 2.75 - 10 \cdot - 0.5 - 8$

Bước 12.1.1.3.6

Cộng $0.25$ và $2.75$ .

$f (x) = 3 - 10 \cdot - 0.5 - 8$

Bước 12.1.1.3.7

Nhân $- 10$ với $- 0.5$ .

$f (x) = 3 + 5 - 8$

Bước 12.1.1.3.8

Cộng $3$ và $5$ .

$f (x) = 8 - 8$

Bước 12.1.1.3.9

Trừ $8$ khỏi $8$ .

$f (x) = 0$

Bước 12.1.1.4

Vì $- 0.5$ là một nghiệm đã biết, chia đa thức cho $2 x + 1$ để tìm thương đa thức. Đa thức này sau đó có thể được sử dụng để tìm các nghiệm còn lại.

$f (x) = \frac{- 2 x^{3} + 11 x^{2} - 10 x - 8}{2 x + 1}$

Bước 12.1.1.5

Chia $- 2 x^{3} + 11 x^{2} - 10 x - 8$ cho $2 x + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.1.5.1

Lập các đa thức được chia. Nếu không có đủ số hạng cho mọi số mũ, hãy chèn một số hạng có giá trị $0$ .

$f (x) =$

Bước 12.1.1.5.2

Chia số hạng bậc cao nhất trong biểu thức bị chia $- 2 x^{3}$ cho số hạng bậc cao nhất trong biểu thức chia $2 x$ .

$f (x) =$

Bước 12.1.1.5.3

Nhân số hạng thương số mới với số chia.

$f (x) =$

Bước 12.1.1.5.4

Biểu thức cần được trừ khỏi số bị chia, vì vậy hãy đổi tất cả các dấu trong $- 2 x^{3} - x^{2}$

$f (x) =$

Bước 12.1.1.5.5

Sau khi đổi các dấu, cộng số bị chia cuối cùng của đa thức từ phép nhân để tìm số bị chia mới.

$f (x) =$

Bước 12.1.1.5.6

Đưa các số hạng tiếp theo từ biểu thức bị chia ban đầu xuống dưới biểu thức bị chia hiện tại.

$f (x) =$

Bước 12.1.1.5.7

Chia số hạng bậc cao nhất trong biểu thức bị chia $12 x^{2}$ cho số hạng bậc cao nhất trong biểu thức chia $2 x$ .

$f (x) =$

Bước 12.1.1.5.8

Nhân số hạng thương số mới với số chia.

$f (x) =$

Bước 12.1.1.5.9

Biểu thức cần được trừ khỏi số bị chia, vì vậy hãy đổi tất cả các dấu trong $12 x^{2} + 6 x$

$f (x) =$

Bước 12.1.1.5.10

Sau khi đổi các dấu, cộng số bị chia cuối cùng của đa thức từ phép nhân để tìm số bị chia mới.

$f (x) =$

Bước 12.1.1.5.11

Đưa các số hạng tiếp theo từ biểu thức bị chia ban đầu xuống dưới biểu thức bị chia hiện tại.

$f (x) =$

Bước 12.1.1.5.12

Chia số hạng bậc cao nhất trong biểu thức bị chia $- 16 x$ cho số hạng bậc cao nhất trong biểu thức chia $2 x$ .

$f (x) =$

Bước 12.1.1.5.13

Nhân số hạng thương số mới với số chia.

$f (x) =$

Bước 12.1.1.5.14

Biểu thức cần được trừ khỏi số bị chia, vì vậy hãy đổi tất cả các dấu trong $- 16 x - 8$

$f (x) =$

Bước 12.1.1.5.15

Sau khi đổi các dấu, cộng số bị chia cuối cùng của đa thức từ phép nhân để tìm số bị chia mới.

$f (x) =$

Bước 12.1.1.5.16

Vì số dư là $0$ , nên câu trả lời cuối cùng là thương.

$f (x) = - x^{2} + 6 x - 8$

Bước 12.1.1.6

Viết $- 2 x^{3} + 11 x^{2} - 10 x - 8$ ở dạng một tập hợp các thừa số.

$f (x) = (x - 1) ((2 x + 1) (- x^{2} + 6 x - 8))$

Bước 12.1.2

Phân tích thành thừa số bằng cách nhóm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.2.1

Phân tích thành thừa số bằng cách nhóm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.2.1.1

Đối với đa thức có dạng $a x^{2} + i x + c$ , hãy viết lại số hạng ở giữa là tổng của hai số hạng có tích là $a \cdot c = - 1 \cdot - 8 = 8$ và có tổng là $i = 6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.2.1.1.1

Đưa $6$ ra ngoài $6 x$ .

$f (x) = (x - 1) ((2 x + 1) (- x^{2} + 6 (x) - 8))$

Bước 12.1.2.1.1.2

Viết lại $6$ ở dạng $2$ cộng $4$

$f (x) = (x - 1) ((2 x + 1) (- x^{2} + (2 + 4) x - 8))$

Bước 12.1.2.1.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (x) = (x - 1) ((2 x + 1) (- x^{2} + 2 x + 4 x - 8))$

Bước 12.1.2.1.2

Đưa ước số chung lớn nhất từ từng nhóm ra ngoài.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.2.1.2.1

Nhóm hai số hạng đầu tiên và hai số hạng cuối.

$f (x) = (x - 1) ((2 x + 1) ((- x^{2} + 2 x) + 4 x - 8))$

Bước 12.1.2.1.2.2

Đưa ước số chung lớn nhất (ƯCLN) từ từng nhóm ra ngoài.

$f (x) = (x - 1) ((2 x + 1) (x (- x + 2) - 4 (- x + 2)))$

Bước 12.1.2.1.3

Phân tích đa thức thành thừa số bằng cách đưa ước số chung lớn nhất ra ngoài, $- x + 2$ .

$f (x) = (x - 1) ((2 x + 1) ((- x + 2) (x - 4)))$

Bước 12.1.2.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$f (x) = (x - 1) ((2 x + 1) (- x + 2) (x - 4))$

Bước 12.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$f (x) = (x - 1) (2 x + 1) (- x + 2) (x - 4)$