Đại số Ví dụ

$x^{5} - 3 x^{4} + 4 x^{3} - 32 x + 48$

Bước 1

Nhóm các số hạng lại lần nữa.

$- 3 x^{4} + 48 + x^{5} + 4 x^{3} - 32 x$

Bước 2

Đưa $- 3$ ra ngoài $- 3 x^{4} + 48$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Đưa $- 3$ ra ngoài $- 3 x^{4}$ .

$- 3 (x^{4}) + 48 + x^{5} + 4 x^{3} - 32 x$

Bước 2.2

Đưa $- 3$ ra ngoài $48$ .

$- 3 (x^{4}) - 3 (- 16) + x^{5} + 4 x^{3} - 32 x$

Bước 2.3

Đưa $- 3$ ra ngoài $- 3 (x^{4}) - 3 (- 16)$ .

$- 3 (x^{4} - 16) + x^{5} + 4 x^{3} - 32 x$

Bước 3

Viết lại $x^{4}$ ở dạng ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 3 ({(x^{2})}^{2} - 16) + x^{5} + 4 x^{3} - 32 x$

Bước 4

Viết lại $16$ ở dạng $4^{2}$ .

$- 3 ({(x^{2})}^{2} - 4^{2}) + x^{5} + 4 x^{3} - 32 x$

Bước 5

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - i^{2} = (a + i) (a - i)$ trong đó $a = x^{2}$ và $i = 4$ .

$- 3 ((x^{2} + 4) (x^{2} - 4)) + x^{5} + 4 x^{3} - 32 x$

Bước 6

Phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$- 3 ((x^{2} + 4) (x^{2} - 2^{2})) + x^{5} + 4 x^{3} - 32 x$

Bước 6.1.2

Phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.2.1

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - i^{2} = (a + i) (a - i)$ trong đó $a = x$ và $i = 2$ .

$- 3 ((x^{2} + 4) ((x + 2) (x - 2))) + x^{5} + 4 x^{3} - 32 x$

Bước 6.1.2.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$- 3 ((x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)) + x^{5} + 4 x^{3} - 32 x$

Bước 6.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$- 3 (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + x^{5} + 4 x^{3} - 32 x$

Bước 7

Đưa $x$ ra ngoài $x^{5} + 4 x^{3} - 32 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{5}$ .

$- 3 (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + x \cdot x^{4} + 4 x^{3} - 32 x$

Bước 7.2

Đưa $x$ ra ngoài $4 x^{3}$ .

$- 3 (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + x \cdot x^{4} + x (4 x^{2}) - 32 x$

Bước 7.3

Đưa $x$ ra ngoài $- 32 x$ .

$- 3 (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + x \cdot x^{4} + x (4 x^{2}) + x \cdot - 32$

Bước 7.4

Đưa $x$ ra ngoài $x \cdot x^{4} + x (4 x^{2})$ .

$- 3 (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + x (x^{4} + 4 x^{2}) + x \cdot - 32$

Bước 7.5

Đưa $x$ ra ngoài $x (x^{4} + 4 x^{2}) + x \cdot - 32$ .

$- 3 (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + x (x^{4} + 4 x^{2} - 32)$

Bước 8

Viết lại $x^{4}$ ở dạng ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 3 (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + x ({(x^{2})}^{2} + 4 x^{2} - 32)$

Bước 9

Giả sử $u = x^{2}$ . Thay $u$ cho tất cả các lần xuất hiện của $x^{2}$ .

$- 3 (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + x (u^{2} + 4 u - 32)$

Bước 10

Phân tích $u^{2} + 4 u - 32$ thành thừa số bằng phương pháp AC.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Xét dạng $x^{2} + i x + c$ . Tìm một cặp số nguyên mà tích số của chúng là $c$ và tổng của chúng là $i$ . Trong trường hợp này, tích số của chúng là $- 32$ và tổng của chúng là $4$ .

$- 4, 8$

Bước 10.2

Viết dạng đã được phân tích thành thừa số bằng các số nguyên này.

$- 3 (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + x ((u - 4) (u + 8))$

Bước 11

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2}$ .

$- 3 (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + x ((x^{2} - 4) (x^{2} + 8))$

Bước 12

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$- 3 (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + x ((x^{2} - 2^{2}) (x^{2} + 8))$

Bước 13

Phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

$- 3 (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + x ((x + 2) (x - 2) (x^{2} + 8))$

Bước 13.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$- 3 (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 8)$

Bước 14

Đưa $(x + 2) (x - 2)$ ra ngoài $- 3 (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 8)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Đưa $(x + 2) (x - 2)$ ra ngoài $- 3 (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)$ .

$(x + 2) (x - 2) (- 3 (x^{2} + 4)) + x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 8)$

Bước 14.2

Đưa $(x + 2) (x - 2)$ ra ngoài $x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 8)$ .

$(x + 2) (x - 2) (- 3 (x^{2} + 4)) + (x + 2) (x - 2) ((x) (x^{2} + 8))$

Bước 14.3

Đưa $(x + 2) (x - 2)$ ra ngoài $(x + 2) (x - 2) (- 3 (x^{2} + 4)) + (x + 2) (x - 2) ((x) (x^{2} + 8))$ .

$(x + 2) (x - 2) (- 3 (x^{2} + 4) + (x) (x^{2} + 8))$

Bước 15

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(x + 2) (x - 2) (- 3 x^{2} - 3 \cdot 4 + (x) (x^{2} + 8))$

Bước 16

Nhân $- 3$ với $4$ .

$(x + 2) (x - 2) (- 3 x^{2} - 12 + (x) (x^{2} + 8))$

Bước 17

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(x + 2) (x - 2) (- 3 x^{2} - 12 + x \cdot x^{2} + x \cdot 8)$

Bước 18

Nhân $x$ với $x^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.1

Nhân $x$ với $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.1.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$(x + 2) (x - 2) (- 3 x^{2} - 12 + x^{1} x^{2} + x \cdot 8)$

Bước 18.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$(x + 2) (x - 2) (- 3 x^{2} - 12 + x^{1 + 2} + x \cdot 8)$

Bước 18.2

Cộng $1$ và $2$ .

$(x + 2) (x - 2) (- 3 x^{2} - 12 + x^{3} + x \cdot 8)$

Bước 19

Di chuyển $8$ sang phía bên trái của $x$ .

$(x + 2) (x - 2) (- 3 x^{2} - 12 + x^{3} + 8 x)$

Bước 20

Sắp xếp lại các số hạng.

$(x + 2) (x - 2) (x^{3} - 3 x^{2} + 8 x - 12)$

Bước 21

Phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 21.1

Phân tích $x^{3} - 3 x^{2} + 8 x - 12$ thành thừa số bằng phương pháp kiểm tra nghiệm hữu tỉ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 21.1.1

Nếu một hàm đa thức có các hệ số là số nguyên, thì mọi điểm zero hữu tỉ sẽ có dạng $\frac{p}{q}$ trong đó $p$ là một thừa số của hằng số và $q$ là một thừa số của hệ số cao nhất.

$p = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

$q = \pm 1$

Bước 21.1.2

Tìm tất cả các tổ hợp của $\pm \frac{p}{q}$ . Đây là những nghiệm có thể có của các hàm số đa thức.

$\pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

Bước 21.1.3

Thay $2$ và rút gọn biểu thức. Trong trường hợp này, biểu thức bằng $0$ vì vậy $2$ là một nghiệm của đa thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 21.1.3.1

Thay $2$ vào đa thức.

$2^{3} - 3 \cdot 2^{2} + 8 \cdot 2 - 12$

Bước 21.1.3.2

Nâng $2$ lên lũy thừa $3$ .

$8 - 3 \cdot 2^{2} + 8 \cdot 2 - 12$

Bước 21.1.3.3

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$8 - 3 \cdot 4 + 8 \cdot 2 - 12$

Bước 21.1.3.4

Nhân $- 3$ với $4$ .

$8 - 12 + 8 \cdot 2 - 12$

Bước 21.1.3.5

Trừ $12$ khỏi $8$ .

$- 4 + 8 \cdot 2 - 12$

Bước 21.1.3.6

Nhân $8$ với $2$ .

$- 4 + 16 - 12$

Bước 21.1.3.7

Cộng $- 4$ và $16$ .

$12 - 12$

Bước 21.1.3.8

Trừ $12$ khỏi $12$ .

$0$

Bước 21.1.4

Vì $2$ là một nghiệm đã biết, chia đa thức cho $x - 2$ để tìm thương đa thức. Đa thức này sau đó có thể được sử dụng để tìm các nghiệm còn lại.

$\frac{x^{3} - 3 x^{2} + 8 x - 12}{x - 2}$

Bước 21.1.5

Chia $x^{3} - 3 x^{2} + 8 x - 12$ cho $x - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 21.1.5.1

Lập các đa thức được chia. Nếu không có đủ số hạng cho mọi số mũ, hãy chèn một số hạng có giá trị $0$ .

$x$

$2$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$8 x$

$12$

Bước 21.1.5.2

Chia số hạng bậc cao nhất trong biểu thức bị chia $x^{3}$ cho số hạng bậc cao nhất trong biểu thức chia $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$8 x$	-	$12$

Bước 21.1.5.3

Nhân số hạng thương số mới với số chia.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$8 x$	-	$12$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Bước 21.1.5.4

Biểu thức cần được trừ khỏi số bị chia, vì vậy hãy đổi tất cả các dấu trong $x^{3} - 2 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Bước 21.1.5.5

Sau khi đổi các dấu, cộng số bị chia cuối cùng của đa thức từ phép nhân để tìm số bị chia mới.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$

Bước 21.1.5.6

Đưa các số hạng tiếp theo từ biểu thức bị chia ban đầu xuống dưới biểu thức bị chia hiện tại.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$8 x$

Bước 21.1.5.7

Chia số hạng bậc cao nhất trong biểu thức bị chia $- x^{2}$ cho số hạng bậc cao nhất trong biểu thức chia $x$ .

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$8 x$

Bước 21.1.5.8

Nhân số hạng thương số mới với số chia.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$8 x$
					-	$x^{2}$	+	$2 x$

Bước 21.1.5.9

Biểu thức cần được trừ khỏi số bị chia, vì vậy hãy đổi tất cả các dấu trong $- x^{2} + 2 x$

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$8 x$
					+	$x^{2}$	-	$2 x$

Bước 21.1.5.10

Sau khi đổi các dấu, cộng số bị chia cuối cùng của đa thức từ phép nhân để tìm số bị chia mới.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$8 x$
					+	$x^{2}$	-	$2 x$
							+	$6 x$

Bước 21.1.5.11

Đưa các số hạng tiếp theo từ biểu thức bị chia ban đầu xuống dưới biểu thức bị chia hiện tại.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$8 x$
					+	$x^{2}$	-	$2 x$
							+	$6 x$	-	$12$

Bước 21.1.5.12

Chia số hạng bậc cao nhất trong biểu thức bị chia $6 x$ cho số hạng bậc cao nhất trong biểu thức chia $x$ .

				$x^{2}$	-	$x$	+	$6$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$8 x$
					+	$x^{2}$	-	$2 x$
							+	$6 x$	-	$12$

Bước 21.1.5.13

Nhân số hạng thương số mới với số chia.

				$x^{2}$	-	$x$	+	$6$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$8 x$
					+	$x^{2}$	-	$2 x$
							+	$6 x$	-	$12$
							+	$6 x$	-	$12$

Bước 21.1.5.14

Biểu thức cần được trừ khỏi số bị chia, vì vậy hãy đổi tất cả các dấu trong $6 x - 12$

				$x^{2}$	-	$x$	+	$6$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$8 x$
					+	$x^{2}$	-	$2 x$
							+	$6 x$	-	$12$
							-	$6 x$	+	$12$

Bước 21.1.5.15

Sau khi đổi các dấu, cộng số bị chia cuối cùng của đa thức từ phép nhân để tìm số bị chia mới.

				$x^{2}$	-	$x$	+	$6$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$8 x$
					+	$x^{2}$	-	$2 x$
							+	$6 x$	-	$12$
							-	$6 x$	+	$12$
										$0$

Bước 21.1.5.16

Vì số dư là $0$ , nên câu trả lời cuối cùng là thương.

$x^{2} - x + 6$

Bước 21.1.6

Viết $x^{3} - 3 x^{2} + 8 x - 12$ ở dạng một tập hợp các thừa số.

$(x + 2) (x - 2) ((x - 2) (x^{2} - x + 6))$

Bước 21.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$(x + 2) (x - 2) (x - 2) (x^{2} - x + 6)$

Bước 22

Kết hợp các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 22.1

Nâng $x - 2$ lên lũy thừa $1$ .

$(x + 2) ({(x - 2)}^{1} (x - 2)) (x^{2} - x + 6)$

Bước 22.2

Nâng $x - 2$ lên lũy thừa $1$ .

$(x + 2) ({(x - 2)}^{1} {(x - 2)}^{1}) (x^{2} - x + 6)$

Bước 22.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$(x + 2) {(x - 2)}^{1 + 1} (x^{2} - x + 6)$

Bước 22.4

Cộng $1$ và $1$ .

$(x + 2) {(x - 2)}^{2} (x^{2} - x + 6)$