Đại số Ví dụ

$x = h + r \cos (t)$ , $y = k + r \sin (t)$

Bước 1

Lập phương trình tham số cho $x (t)$ để giải phương trình cho $t$ .

$x = h + r \cos (t)$

Bước 2

Viết lại phương trình ở dạng $h + r \cos (t) = x$ .

$h + r \cos (t) = x$

Bước 3

Trừ $h$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$r \cos (t) = x - h$

Bước 4

Chia mỗi số hạng trong $r \cos (t) = x - h$ cho $r$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Chia mỗi số hạng trong $r \cos (t) = x - h$ cho $r$ .

$\frac{r \cos (t)}{r} = \frac{x}{r} + \frac{- h}{r}$

Bước 4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $r$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{r \cos (t)}{r} = \frac{x}{r} + \frac{- h}{r}$

Bước 4.2.1.2

Chia $\cos (t)$ cho $1$ .

$\cos (t) = \frac{x}{r} + \frac{- h}{r}$

Bước 4.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\cos (t) = \frac{x}{r} - \frac{h}{r}$

Bước 5

Lấy cosin nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để trích xuất $t$ từ trong cosin.

$t = \arccos (\frac{x}{r} - \frac{h}{r})$

Bước 6

Thay thế $t$ trong phương trình cho $y$ để có được phương trình theo $x$ .

$y = k + r \sin (\arccos (\frac{x}{r} - \frac{h}{r}))$

Bước 7

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$y = k + r \sin (\arccos (\frac{x}{r} - \frac{h}{r}))$

Bước 8

Rút gọn $k + r \sin (\arccos (\frac{x}{r} - \frac{h}{r}))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.1

Vẽ một hình tam giác trong mặt phẳng với các đỉnh $(\frac{x}{r} - \frac{h}{r}, \sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{r} - \frac{h}{r})}^{2}})$ , $(\frac{x}{r} - \frac{h}{r}, 0)$ , và gốc tọa độ. Khi đó $\arccos (\frac{x}{r} - \frac{h}{r})$ là góc giữa trục x dương và tia bắt đầu tại điểm gốc tọa độ và đi qua $(\frac{x}{r} - \frac{h}{r}, \sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{r} - \frac{h}{r})}^{2}})$ . Do đó, $\sin (\arccos (\frac{x}{r} - \frac{h}{r}))$ là $\sqrt{1 - {(\frac{x}{r} - \frac{h}{r})}^{2}}$ .

$y = k + r \sqrt{1 - {(\frac{x}{r} - \frac{h}{r})}^{2}}$

Bước 8.1.2

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$y = k + r \sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{r} - \frac{h}{r})}^{2}}$

Bước 8.1.3

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = 1$ và $b = \frac{x}{r} - \frac{h}{r}$ .

$y = k + r \sqrt{(1 + \frac{x}{r} - \frac{h}{r}) (1 - (\frac{x}{r} - \frac{h}{r}))}$

Bước 8.1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = k + r \sqrt{(1 + \frac{x}{r} - \frac{h}{r}) (1 - \frac{x}{r} - - \frac{h}{r})}$

Bước 8.1.4.2

Nhân $- - \frac{h}{r}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.4.2.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$y = k + r \sqrt{(1 + \frac{x}{r} - \frac{h}{r}) (1 - \frac{x}{r} + 1 \frac{h}{r})}$

Bước 8.1.4.2.2

Nhân $\frac{h}{r}$ với $1$ .

$y = k + r \sqrt{(1 + \frac{x}{r} - \frac{h}{r}) (1 - \frac{x}{r} + \frac{h}{r})}$

Bước 8.1.5

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$y = k + r \sqrt{(\frac{r}{r} + \frac{x}{r} - \frac{h}{r}) (1 - \frac{x}{r} + \frac{h}{r})}$

Bước 8.1.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = k + r \sqrt{(\frac{r + x}{r} - \frac{h}{r}) (1 - \frac{x}{r} + \frac{h}{r})}$

Bước 8.1.7

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = k + r \sqrt{\frac{r + x - h}{r} (1 - \frac{x}{r} + \frac{h}{r})}$

Bước 8.1.8

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.8.1

Di chuyển $x$ .

$y = k + r \sqrt{\frac{r - h + x}{r} (1 - \frac{x}{r} + \frac{h}{r})}$

Bước 8.1.8.2

Sắp xếp lại $r$ và $- h$ .

$y = k + r \sqrt{\frac{- h + r + x}{r} (1 - \frac{x}{r} + \frac{h}{r})}$

Bước 8.1.9

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$y = k + r \sqrt{\frac{- h + r + x}{r} (\frac{r}{r} - \frac{x}{r} + \frac{h}{r})}$

Bước 8.1.10

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = k + r \sqrt{\frac{- h + r + x}{r} (\frac{r - x}{r} + \frac{h}{r})}$

Bước 8.1.11

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = k + r \sqrt{\frac{- h + r + x}{r} \cdot \frac{r - x + h}{r}}$

Bước 8.1.12

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.12.1

Di chuyển $- x$ .

$y = k + r \sqrt{\frac{- h + r + x}{r} \cdot \frac{r + h - x}{r}}$

Bước 8.1.12.2

Sắp xếp lại $r$ và $h$ .

$y = k + r \sqrt{\frac{- h + r + x}{r} \cdot \frac{h + r - x}{r}}$

Bước 8.1.13

Nhân $\frac{- h + r + x}{r}$ với $\frac{h + r - x}{r}$ .

$y = k + r \sqrt{\frac{(- h + r + x) (h + r - x)}{r \cdot r}}$

Bước 8.1.14

Nhân $r$ với $r$ .

$y = k + r \sqrt{\frac{(- h + r + x) (h + r - x)}{r^{2}}}$

Bước 8.1.15

Viết lại $\frac{(- h + r + x) (h + r - x)}{r^{2}}$ ở dạng ${(\frac{1}{r})}^{2} ((- h + r + x) (h + r - x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.15.1

Đưa lũy thừa hoàn hảo $1^{2}$ ra ngoài $(- h + r + x) (h + r - x)$ .

$y = k + r \sqrt{\frac{1^{2} ((- h + r + x) (h + r - x))}{r^{2}}}$

Bước 8.1.15.2

Đưa lũy thừa hoàn hảo $r^{2}$ ra ngoài $r^{2}$ .

$y = k + r \sqrt{\frac{1^{2} ((- h + r + x) (h + r - x))}{r^{2} \cdot 1}}$

Bước 8.1.15.3

Sắp xếp lại phân số $\frac{1^{2} ((- h + r + x) (h + r - x))}{r^{2} \cdot 1}$ .

$y = k + r \sqrt{{(\frac{1}{r})}^{2} ((- h + r + x) (h + r - x))}$

Bước 8.1.16

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$y = k + r (\frac{1}{r} \sqrt{(- h + r + x) (h + r - x)})$

Bước 8.1.17

Kết hợp $\frac{1}{r}$ và $\sqrt{(- h + r + x) (h + r - x)}$ .

$y = k + r \frac{\sqrt{(- h + r + x) (h + r - x)}}{r}$

Bước 8.1.18

Triệt tiêu thừa số chung $r$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.18.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = k + r \frac{\sqrt{(- h + r + x) (h + r - x)}}{r}$

Bước 8.1.18.2

Viết lại biểu thức.

$y = k + \sqrt{(- h + r + x) (h + r - x)}$

Bước 8.2

Sắp xếp lại $k$ và $\sqrt{(- h + r + x) (h + r - x)}$ .

$y = \sqrt{(- h + r + x) (h + r - x)} + k$