Đại số Ví dụ

${(1 + \frac{1}{n})}^{n}$

Bước 1

Sử dụng các tính chất của logarit để rút gọn đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Viết lại ${(1 + \frac{1}{n})}^{n}$ ở dạng $e^{\ln ({(1 + \frac{1}{n})}^{n})}$ .

$\frac{d}{d n} [e^{\ln ({(1 + \frac{1}{n})}^{n})}]$

Bước 1.2

Khai triển $\ln ({(1 + \frac{1}{n})}^{n})$ bằng cách di chuyển $n$ ra bên ngoài lôgarit.

$\frac{d}{d n} [e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d n} [f (g (n))]$ là $f' (g (n)) g' (n)$ trong đó $f (n) = e^{n}$ và $g (n) = n \ln (1 + \frac{1}{n})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $n \ln (1 + \frac{1}{n})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d n} [n \ln (1 + \frac{1}{n})]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ là $a^{u_{1}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d n} [n \ln (1 + \frac{1}{n})]$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $n \ln (1 + \frac{1}{n})$ .

$e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} \frac{d}{d n} [n \ln (1 + \frac{1}{n})]$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d n} [f (n) g (n)]$ là $f (n) \frac{d}{d n} [g (n)] + g (n) \frac{d}{d n} [f (n)]$ trong đó $f (n) = n$ và $g (n) = \ln (1 + \frac{1}{n})$ .

$e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} (n \frac{d}{d n} [\ln (1 + \frac{1}{n})] + \ln (1 + \frac{1}{n}) \frac{d}{d n} [n])$

Bước 4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d n} [f (g (n))]$ là $f' (g (n)) g' (n)$ trong đó $f (n) = \ln (n)$ và $g (n) = 1 + \frac{1}{n}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $1 + \frac{1}{n}$ .

$e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} (n (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d n} [1 + \frac{1}{n}]) + \ln (1 + \frac{1}{n}) \frac{d}{d n} [n])$

Bước 4.2

Đạo hàm của $\ln (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $\frac{1}{u_{2}}$ .

$e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} (n (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d n} [1 + \frac{1}{n}]) + \ln (1 + \frac{1}{n}) \frac{d}{d n} [n])$

Bước 4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $1 + \frac{1}{n}$ .

$e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} (n (\frac{1}{1 + \frac{1}{n}} \frac{d}{d n} [1 + \frac{1}{n}]) + \ln (1 + \frac{1}{n}) \frac{d}{d n} [n])$

Bước 5

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Kết hợp $\frac{1}{1 + \frac{1}{n}}$ và $n$ .

$e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} (\frac{n}{1 + \frac{1}{n}} \frac{d}{d n} [1 + \frac{1}{n}] + \ln (1 + \frac{1}{n}) \frac{d}{d n} [n])$

Bước 5.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + \frac{1}{n}$ đối với $n$ là $\frac{d}{d n} [1] + \frac{d}{d n} [\frac{1}{n}]$ .

$e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} (\frac{n}{1 + \frac{1}{n}} (\frac{d}{d n} [1] + \frac{d}{d n} [\frac{1}{n}]) + \ln (1 + \frac{1}{n}) \frac{d}{d n} [n])$

Bước 5.3

Vì $1$ là hằng số đối với $n$ , đạo hàm của $1$ đối với $n$ là $0$ .

$e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} (\frac{n}{1 + \frac{1}{n}} (0 + \frac{d}{d n} [\frac{1}{n}]) + \ln (1 + \frac{1}{n}) \frac{d}{d n} [n])$

Bước 5.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Cộng $0$ và $\frac{d}{d n} [\frac{1}{n}]$ .

$e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} (\frac{n}{1 + \frac{1}{n}} \frac{d}{d n} [\frac{1}{n}] + \ln (1 + \frac{1}{n}) \frac{d}{d n} [n])$

Bước 5.4.2

Viết lại $\frac{1}{n}$ ở dạng $n^{- 1}$ .

$e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} (\frac{n}{1 + \frac{1}{n}} \frac{d}{d n} [n^{- 1}] + \ln (1 + \frac{1}{n}) \frac{d}{d n} [n])$

Bước 5.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d n} [n^{n}]$ là $n \cdot n^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} (\frac{n}{1 + \frac{1}{n}} (- n^{- 2}) + \ln (1 + \frac{1}{n}) \frac{d}{d n} [n])$

Bước 5.6

Kết hợp $\frac{n}{1 + \frac{1}{n}}$ và $n^{- 2}$ .

$e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} (- \frac{n \cdot n^{- 2}}{1 + \frac{1}{n}} + \ln (1 + \frac{1}{n}) \frac{d}{d n} [n])$

Bước 6

Nhân $n$ với $n^{- 2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân $n$ với $n^{- 2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Nâng $n$ lên lũy thừa $1$ .

$e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} (- \frac{n^{1} n^{- 2}}{1 + \frac{1}{n}} + \ln (1 + \frac{1}{n}) \frac{d}{d n} [n])$

Bước 6.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} (- \frac{n^{1 - 2}}{1 + \frac{1}{n}} + \ln (1 + \frac{1}{n}) \frac{d}{d n} [n])$

Bước 6.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} (- \frac{n^{- 1}}{1 + \frac{1}{n}} + \ln (1 + \frac{1}{n}) \frac{d}{d n} [n])$

Bước 7

Di chuyển $n^{- 1}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} (- \frac{1}{(1 + \frac{1}{n}) n} + \ln (1 + \frac{1}{n}) \frac{d}{d n} [n])$

Bước 8

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d n} [n^{n}]$ là $n \cdot n^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} (- \frac{1}{(1 + \frac{1}{n}) n} + \ln (1 + \frac{1}{n}) \cdot 1)$

Bước 9

Nhân $\ln (1 + \frac{1}{n})$ với $1$ .

$e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} (- \frac{1}{(1 + \frac{1}{n}) n} + \ln (1 + \frac{1}{n}))$

Bước 10

Để viết $\ln (1 + \frac{1}{n})$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{(1 + \frac{1}{n}) n}{(1 + \frac{1}{n}) n}$ .

$e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} (- \frac{1}{(1 + \frac{1}{n}) n} + \ln (1 + \frac{1}{n}) \cdot \frac{(1 + \frac{1}{n}) n}{(1 + \frac{1}{n}) n})$

Bước 11

Kết hợp $\ln (1 + \frac{1}{n})$ và $\frac{(1 + \frac{1}{n}) n}{(1 + \frac{1}{n}) n}$ .

$e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} (- \frac{1}{(1 + \frac{1}{n}) n} + \frac{\ln (1 + \frac{1}{n}) ((1 + \frac{1}{n}) n)}{(1 + \frac{1}{n}) n})$

Bước 12

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} \frac{- 1 + \ln (1 + \frac{1}{n}) ((1 + \frac{1}{n}) n)}{(1 + \frac{1}{n}) n}$

Bước 13

Kết hợp $e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})}$ và $\frac{- 1 + \ln (1 + \frac{1}{n}) ((1 + \frac{1}{n}) n)}{(1 + \frac{1}{n}) n}$ .

$\frac{e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} (- 1 + \ln (1 + \frac{1}{n}) ((1 + \frac{1}{n}) n))}{(1 + \frac{1}{n}) n}$

Bước 14

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} (- 1 + \ln (1 + \frac{1}{n}) (1 n + \frac{1}{n} n))}{(1 + \frac{1}{n}) n}$

Bước 14.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} (- 1 + \ln (1 + \frac{1}{n}) (1 n + \frac{1}{n} n))}{1 n + \frac{1}{n} n}$

Bước 14.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.3.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.3.1.1.1

Nhân $n$ với $1$ .

$\frac{e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} (- 1 + \ln (1 + \frac{1}{n}) (n + \frac{1}{n} n))}{1 n + \frac{1}{n} n}$

Bước 14.3.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $n$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.3.1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} (- 1 + \ln (1 + \frac{1}{n}) (n + \frac{1}{n} n))}{1 n + \frac{1}{n} n}$

Bước 14.3.1.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} (- 1 + \ln (1 + \frac{1}{n}) (n + 1))}{1 n + \frac{1}{n} n}$

Bước 14.3.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} (- 1 + \ln (1 + \frac{1}{n}) n + \ln (1 + \frac{1}{n}) \cdot 1)}{1 n + \frac{1}{n} n}$

Bước 14.3.1.3

Nhân $\ln (1 + \frac{1}{n})$ với $1$ .

$\frac{e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} (- 1 + \ln (1 + \frac{1}{n}) n + \ln (1 + \frac{1}{n}))}{1 n + \frac{1}{n} n}$

Bước 14.3.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} \cdot - 1 + e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} (\ln (1 + \frac{1}{n}) n) + e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} \ln (1 + \frac{1}{n})}{1 n + \frac{1}{n} n}$

Bước 14.3.3

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})}$ .

$\frac{- 1 \cdot e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} + e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} (\ln (1 + \frac{1}{n}) n) + e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} \ln (1 + \frac{1}{n})}{1 n + \frac{1}{n} n}$

Bước 14.3.4

Viết lại $- 1 e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})}$ ở dạng $- e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})}$ .

$\frac{- e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} + e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} (\ln (1 + \frac{1}{n}) n) + e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} \ln (1 + \frac{1}{n})}{1 n + \frac{1}{n} n}$

Bước 14.3.5

Sắp xếp lại các thừa số trong $- e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} + e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} (\ln (1 + \frac{1}{n}) n) + e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} \ln (1 + \frac{1}{n})$ .

$\frac{- e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} + n e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} \ln (1 + \frac{1}{n}) + e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} \ln (1 + \frac{1}{n})}{1 n + \frac{1}{n} n}$

Bước 14.4

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.4.1

Nhân $n$ với $1$ .

$\frac{- e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} + n e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} \ln (1 + \frac{1}{n}) + e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} \ln (1 + \frac{1}{n})}{n + \frac{1}{n} n}$

Bước 14.4.2

Kết hợp $\frac{1}{n}$ và $n$ .

$\frac{- e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} + n e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} \ln (1 + \frac{1}{n}) + e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} \ln (1 + \frac{1}{n})}{n + \frac{n}{n}}$

Bước 14.4.3

Triệt tiêu thừa số chung $n$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.4.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} + n e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} \ln (1 + \frac{1}{n}) + e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} \ln (1 + \frac{1}{n})}{n + \frac{n}{n}}$

Bước 14.4.3.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{- e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} + n e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} \ln (1 + \frac{1}{n}) + e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} \ln (1 + \frac{1}{n})}{n + 1}$

Bước 14.5

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} n \ln (1 + \frac{1}{n}) + e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})} \ln (1 + \frac{1}{n}) - e^{n \ln (1 + \frac{1}{n})}}{n + 1}$