Đại số Ví dụ

$3 e^{- x^{4}}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 e^{- x^{4}}$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [e^{- x^{4}}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (e^{- x^{4}})$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = - x^{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $- x^{4}$ .

$f' (x) = 3 (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- x^{4}))$

Bước 1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$f' (x) = 3 (e^{u} \frac{d}{d x} (- x^{4}))$

Bước 1.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $- x^{4}$ .

$f' (x) = 3 (e^{- x^{4}} \frac{d}{d x} (- x^{4}))$

Bước 1.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x^{4}$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 3 e^{- x^{4}} (- \frac{d}{d x} x^{4})$

Bước 1.3.2

Nhân $- 1$ với $3$ .

$f' (x) = - 3 e^{- x^{4}} \frac{d}{d x} x^{4}$

Bước 1.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$f' (x) = - 3 e^{- x^{4}} (4 x^{3})$

Bước 1.3.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.4.1

Nhân $4$ với $- 3$ .

$f' (x) = - 12 e^{- x^{4}} x^{3}$

Bước 1.3.4.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $- 12 e^{- x^{4}} x^{3}$ .

$f' (x) = - 12 x^{3} e^{- x^{4}}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì $- 12$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 12 x^{3} e^{- x^{4}}$ đối với $x$ là $- 12 \frac{d}{d x} [x^{3} e^{- x^{4}}]$ .

$f'' (x) = - 12 \frac{d}{d x} (x^{3} e^{- x^{4}})$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x^{3}$ và $g (x) = e^{- x^{4}}$ .

$f'' (x) = - 12 (x^{3} \frac{d}{d x} (e^{- x^{4}}) + e^{- x^{4}} \frac{d}{d x} (x^{3}))$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = - x^{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $- x^{4}$ .

$f'' (x) = - 12 (x^{3} (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- x^{4})) + e^{- x^{4}} \frac{d}{d x} (x^{3}))$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - 12 (x^{3} (e^{u} \frac{d}{d x} (- x^{4})) + e^{- x^{4}} \frac{d}{d x} (x^{3}))$

Bước 2.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $- x^{4}$ .

$f'' (x) = - 12 (x^{3} (e^{- x^{4}} \frac{d}{d x} (- x^{4})) + e^{- x^{4}} \frac{d}{d x} (x^{3}))$

Bước 2.4

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x^{4}$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f'' (x) = - 12 (x^{3} (e^{- x^{4}} (- \frac{d}{d x} x^{4})) + e^{- x^{4}} \frac{d}{d x} (x^{3}))$

Bước 2.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$f'' (x) = - 12 (x^{3} (e^{- x^{4}} (- (4 x^{3}))) + e^{- x^{4}} \frac{d}{d x} (x^{3}))$

Bước 2.4.3

Nhân $4$ với $- 1$ .

$f'' (x) = - 12 (x^{3} (e^{- x^{4}} (- 4 x^{3})) + e^{- x^{4}} \frac{d}{d x} (x^{3}))$

Bước 2.5

Nhân $x^{3}$ với $x^{3}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Di chuyển $x^{3}$ .

$f'' (x) = - 12 (x^{3} x^{3} (e^{- x^{4}} \cdot (- 4)) + e^{- x^{4}} \frac{d}{d x} (x^{3}))$

Bước 2.5.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f'' (x) = - 12 (x^{3 + 3} (e^{- x^{4}} \cdot (- 4)) + e^{- x^{4}} \frac{d}{d x} (x^{3}))$

Bước 2.5.3

Cộng $3$ và $3$ .

$f'' (x) = - 12 (x^{6} (e^{- x^{4}} \cdot (- 4)) + e^{- x^{4}} \frac{d}{d x} (x^{3}))$

Bước 2.6

Di chuyển $- 4$ sang phía bên trái của $e^{- x^{4}}$ .

$f'' (x) = - 12 (x^{6} (- 4 \cdot e^{- x^{4}}) + e^{- x^{4}} \frac{d}{d x} (x^{3}))$

Bước 2.7

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$f'' (x) = - 12 (x^{6} (- 4 e^{- x^{4}}) + e^{- x^{4}} (3 x^{2}))$

Bước 2.8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f'' (x) = - 12 (x^{6} (- 4 e^{- x^{4}})) - 12 (e^{- x^{4}} (3 x^{2}))$

Bước 2.8.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.2.1

Nhân $- 4$ với $- 12$ .

$f'' (x) = 48 (x^{6} (e^{- x^{4}})) - 12 (e^{- x^{4}} (3 x^{2}))$

Bước 2.8.2.2

Nhân $3$ với $- 12$ .

$f'' (x) = 48 x^{6} e^{- x^{4}} - 36 e^{- x^{4}} x^{2}$

Bước 2.8.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$f'' (x) = 48 e^{- x^{4}} x^{6} - 36 e^{- x^{4}} x^{2}$

Bước 2.8.4

Sắp xếp lại các thừa số trong $48 e^{- x^{4}} x^{6} - 36 e^{- x^{4}} x^{2}$ .

$f'' (x) = 48 x^{6} e^{- x^{4}} - 36 x^{2} e^{- x^{4}}$