Đại số Ví dụ

${(x + 2)}^{5}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{5}$ và $g (x) = x + 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x + 2$ .

$\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [x + 2]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 5$ .

$5 u^{4} \frac{d}{d x} [x + 2]$

Bước 1.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x + 2$ .

$5 {(x + 2)}^{4} \frac{d}{d x} [x + 2]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 2$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$5 {(x + 2)}^{4} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])$

Bước 1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$5 {(x + 2)}^{4} (1 + \frac{d}{d x} [2])$

Bước 1.2.3

Vì $2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $2$ đối với $x$ là $0$ .

$5 {(x + 2)}^{4} (1 + 0)$

Bước 1.2.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.1

Cộng $1$ và $0$ .

$5 {(x + 2)}^{4} \cdot 1$

Bước 1.2.4.2

Nhân $5$ với $1$ .

$f' (x) = 5 {(x + 2)}^{4}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $5 {(x + 2)}^{4}$ đối với $x$ là $5 \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{4}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{4}]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{4}$ và $g (x) = x + 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x + 2$ .

$5 (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [x + 2])$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$5 (4 u^{3} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Bước 2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x + 2$ .

$5 (4 {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Nhân $4$ với $5$ .

$20 ({(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Bước 2.3.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 2$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$20 {(x + 2)}^{3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])$

Bước 2.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$20 {(x + 2)}^{3} (1 + \frac{d}{d x} [2])$

Bước 2.3.4

Vì $2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $2$ đối với $x$ là $0$ .

$20 {(x + 2)}^{3} (1 + 0)$

Bước 2.3.5

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.1

Cộng $1$ và $0$ .

$20 {(x + 2)}^{3} \cdot 1$

Bước 2.3.5.2

Nhân $20$ với $1$ .

$f'' (x) = 20 {(x + 2)}^{3}$

Bước 3

Tìm đạo hàm bậc 3.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $20$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $20 {(x + 2)}^{3}$ đối với $x$ là $20 \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{3}]$ .

$20 \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{3}]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{3}$ và $g (x) = x + 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x + 2$ .

$20 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x + 2])$

Bước 3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$20 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Bước 3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x + 2$ .

$20 (3 {(x + 2)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Nhân $3$ với $20$ .

$60 ({(x + 2)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Bước 3.3.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 2$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$60 {(x + 2)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])$

Bước 3.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$60 {(x + 2)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [2])$

Bước 3.3.4

Vì $2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $2$ đối với $x$ là $0$ .

$60 {(x + 2)}^{2} (1 + 0)$

Bước 3.3.5

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.5.1

Cộng $1$ và $0$ .

$60 {(x + 2)}^{2} \cdot 1$

Bước 3.3.5.2

Nhân $60$ với $1$ .

$f''' (x) = 60 {(x + 2)}^{2}$