Đại số Ví dụ

$1 + \frac{2}{3} + \frac{4}{9} + \frac{8}{27}$

Bước 1

Đây là dãy cấp số nhân vì giữa các số hạng kề nhau có một tỉ số chung. Trong trường hợp này, ta nhân số hạng đứng trước với $\frac{2}{3}$ sẽ cho ra số hạng kế tiếp trong dãy. Nói cách khác, $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ .

Cấp số nhân: $r = \frac{2}{3}$

Bước 2

Đây là dạng của một cấp số nhân.

$a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$

Bước 3

Thay vào các giá trị của $a_{1} = 1$ và $r = \frac{2}{3}$ .

$a_{n} = 1 {(\frac{2}{3})}^{n - 1}$

Bước 4

Nhân ${(\frac{2}{3})}^{n - 1}$ với $1$ .

$a_{n} = {(\frac{2}{3})}^{n - 1}$

Bước 5

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{2}{3}$ .

$a_{n} = \frac{2^{n - 1}}{3^{n - 1}}$

Bước 6

Đây là công thức để tìm tổng của $n$ số hạng đầu tiên của cấp số nhân. Để tính, hãy tìm các giá trị của $r$ và $a_{1}$ .

$S_{n} = \frac{a_{1} (r^{n} - 1)}{r - 1}$

Bước 7

Thay thế các biến bằng các giá trị đã biết để tìm $S_{4}$ .

$S_{4} = 1 \cdot \frac{{(\frac{2}{3})}^{4} - 1}{\frac{2}{3} - 1}$

Bước 8

Nhân $\frac{{(\frac{2}{3})}^{4} - 1}{\frac{2}{3} - 1}$ với $1$ .

$S_{4} = \frac{{(\frac{2}{3})}^{4} - 1}{\frac{2}{3} - 1}$

Bước 9

Nhân tử số và mẫu số của phân số với $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Nhân $\frac{{(\frac{2}{3})}^{4} - 1}{\frac{2}{3} - 1}$ với $\frac{3}{3}$ .

$S_{4} = \frac{3}{3} \cdot \frac{{(\frac{2}{3})}^{4} - 1}{\frac{2}{3} - 1}$

Bước 9.2

Kết hợp.

$S_{4} = \frac{3 ({(\frac{2}{3})}^{4} - 1)}{3 (\frac{2}{3} - 1)}$

Bước 10

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$S_{4} = \frac{3 {(\frac{2}{3})}^{4} + 3 \cdot - 1}{3 (\frac{2}{3}) + 3 \cdot - 1}$

Bước 11

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$S_{4} = \frac{3 {(\frac{2}{3})}^{4} + 3 \cdot - 1}{3 (\frac{2}{3}) + 3 \cdot - 1}$

Bước 11.2

Viết lại biểu thức.

$S_{4} = \frac{3 {(\frac{2}{3})}^{4} + 3 \cdot - 1}{2 + 3 \cdot - 1}$

Bước 12

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{2}{3}$ .

$S_{4} = \frac{3 (\frac{2^{4}}{3^{4}}) + 3 \cdot - 1}{2 + 3 \cdot - 1}$

Bước 12.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3^{4}$ .

$S_{4} = \frac{3 (\frac{2^{4}}{3 \cdot 3^{3}}) + 3 \cdot - 1}{2 + 3 \cdot - 1}$

Bước 12.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$S_{4} = \frac{3 (\frac{2^{4}}{3 \cdot 3^{3}}) + 3 \cdot - 1}{2 + 3 \cdot - 1}$

Bước 12.2.3

Viết lại biểu thức.

$S_{4} = \frac{\frac{2^{4}}{3^{3}} + 3 \cdot - 1}{2 + 3 \cdot - 1}$

Bước 12.3

Nâng $2$ lên lũy thừa $4$ .

$S_{4} = \frac{\frac{16}{3^{3}} + 3 \cdot - 1}{2 + 3 \cdot - 1}$

Bước 12.4

Nâng $3$ lên lũy thừa $3$ .

$S_{4} = \frac{\frac{16}{27} + 3 \cdot - 1}{2 + 3 \cdot - 1}$

Bước 12.5

Nhân $3$ với $- 1$ .

$S_{4} = \frac{\frac{16}{27} - 3}{2 + 3 \cdot - 1}$

Bước 12.6

Để viết $- 3$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{27}{27}$ .

$S_{4} = \frac{\frac{16}{27} - 3 \cdot \frac{27}{27}}{2 + 3 \cdot - 1}$

Bước 12.7

Kết hợp $- 3$ và $\frac{27}{27}$ .

$S_{4} = \frac{\frac{16}{27} + \frac{- 3 \cdot 27}{27}}{2 + 3 \cdot - 1}$

Bước 12.8

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$S_{4} = \frac{\frac{16 - 3 \cdot 27}{27}}{2 + 3 \cdot - 1}$

Bước 12.9

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.9.1

Nhân $- 3$ với $27$ .

$S_{4} = \frac{\frac{16 - 81}{27}}{2 + 3 \cdot - 1}$

Bước 12.9.2

Trừ $81$ khỏi $16$ .

$S_{4} = \frac{\frac{- 65}{27}}{2 + 3 \cdot - 1}$

Bước 12.10

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$S_{4} = \frac{- \frac{65}{27}}{2 + 3 \cdot - 1}$

Bước 13

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Nhân $3$ với $- 1$ .

$S_{4} = \frac{- \frac{65}{27}}{2 - 3}$

Bước 13.2

Trừ $3$ khỏi $2$ .

$S_{4} = \frac{- \frac{65}{27}}{- 1}$

Bước 14

Rút gọn biểu thức bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$S_{4} = \frac{\frac{65}{27}}{1}$

Bước 14.2

Chia $\frac{65}{27}$ cho $1$ .

$S_{4} = \frac{65}{27}$