Đại số Ví dụ

$\sec^{2} (x) - \csc^{2} (x) = \tan^{2} (x) - \cot^{2} (x)$

Bước 1

Bắt đầu ở phía bên phải.

$\tan^{2} (x) - \cot^{2} (x)$

Bước 2

Áp dụng đẳng thức Pytago đảo.

$\sec^{2} (x) - 1 - \cot^{2} (x)$

Bước 3

Phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$\sec^{2} (x) - 1^{2} - \cot^{2} (x)$

Bước 3.2

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = \sec (x)$ và $b = 1$ .

$(\sec (x) + 1) (\sec (x) - 1) - \cot^{2} (x)$

Bước 4

Áp dụng đẳng thức Pytago đảo.

$(\sec (x) + 1) (\sec (x) - 1) - (\csc^{2} (x) - 1)$

Bước 5

Quy đổi sang sin và cosin.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Áp dụng đẳng thức nghịch đảo cho $\sec (x)$ .

$(\frac{1}{\cos (x)} + 1) (\sec (x) - 1) - (\csc^{2} (x) - 1)$

Bước 5.2

Áp dụng đẳng thức nghịch đảo cho $\sec (x)$ .

$(\frac{1}{\cos (x)} + 1) (\frac{1}{\cos (x)} - 1) - (\csc^{2} (x) - 1)$

Bước 5.3

Áp dụng đẳng thức nghịch đảo cho $\csc (x)$ .

$(\frac{1}{\cos (x)} + 1) (\frac{1}{\cos (x)} - 1) - ({(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} - 1)$

Bước 5.4

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$(\frac{1}{\cos (x)} + 1) (\frac{1}{\cos (x)} - 1) - (\frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} - 1)$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Khai triển $(\frac{1}{\cos (x)} + 1) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{\cos (x)} (\frac{1}{\cos (x)} - 1) + 1 (\frac{1}{\cos (x)} - 1) - (\frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1)$

Bước 6.1.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot - 1 + 1 (\frac{1}{\cos (x)} - 1) - (\frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1)$

Bước 6.1.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot - 1 + 1 \frac{1}{\cos (x)} + 1 \cdot - 1 - (\frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1)$

Bước 6.1.2

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.2.1.1

Nhân $\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.2.1.1.1

Nhân $\frac{1}{\cos (x)}$ với $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{\cos (x) \cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot - 1 + 1 \frac{1}{\cos (x)} + 1 \cdot - 1 - (\frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1)$

Bước 6.1.2.1.1.2

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{1} \cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot - 1 + 1 \frac{1}{\cos (x)} + 1 \cdot - 1 - (\frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1)$

Bước 6.1.2.1.1.3

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1}} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot - 1 + 1 \frac{1}{\cos (x)} + 1 \cdot - 1 - (\frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1)$

Bước 6.1.2.1.1.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{1}{{\cos (x)}^{1 + 1}} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot - 1 + 1 \frac{1}{\cos (x)} + 1 \cdot - 1 - (\frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1)$

Bước 6.1.2.1.1.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot - 1 + 1 \frac{1}{\cos (x)} + 1 \cdot - 1 - (\frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1)$

Bước 6.1.2.1.2

Kết hợp $\frac{1}{\cos (x)}$ và $- 1$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{- 1}{\cos (x)} + 1 \frac{1}{\cos (x)} + 1 \cdot - 1 - (\frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1)$

Bước 6.1.2.1.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{1}{\cos (x)} + 1 \frac{1}{\cos (x)} + 1 \cdot - 1 - (\frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1)$

Bước 6.1.2.1.4

Nhân $\frac{1}{\cos (x)}$ với $1$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} + 1 \cdot - 1 - (\frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1)$

Bước 6.1.2.1.5

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} - 1 - (\frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1)$

Bước 6.1.2.2

Để viết $- \frac{1}{\cos (x)}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} - 1 - (\frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1)$

Bước 6.1.2.3

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là ${\cos (x)}^{2}$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.2.3.1

Nhân $\frac{1}{\cos (x)}$ với $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} - 1 - (\frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1)$

Bước 6.1.2.3.2

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\cos (x)}^{1} \cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} - 1 - (\frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1)$

Bước 6.1.2.3.3

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1}} + \frac{1}{\cos (x)} - 1 - (\frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1)$

Bước 6.1.2.3.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}} + \frac{1}{\cos (x)} - 1 - (\frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1)$

Bước 6.1.2.3.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{1}{\cos (x)} - 1 - (\frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1)$

Bước 6.1.2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1 - \cos (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{1}{\cos (x)} - 1 - (\frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1)$

Bước 6.1.2.5

Để viết $\frac{1}{\cos (x)}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{1 - \cos (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)} - 1 - (\frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1)$

Bước 6.1.2.6

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là ${\cos (x)}^{2}$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.2.6.1

Nhân $\frac{1}{\cos (x)}$ với $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{1 - \cos (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\cos (x)}{\cos (x) \cos (x)} - 1 - (\frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1)$

Bước 6.1.2.6.2

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{1 - \cos (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\cos (x)}{{\cos (x)}^{1} \cos (x)} - 1 - (\frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1)$

Bước 6.1.2.6.3

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{1 - \cos (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\cos (x)}{{\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1}} - 1 - (\frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1)$

Bước 6.1.2.6.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{1 - \cos (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\cos (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}} - 1 - (\frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1)$

Bước 6.1.2.6.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{1 - \cos (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\cos (x)}{{\cos (x)}^{2}} - 1 - (\frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1)$

Bước 6.1.2.7

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1 - \cos (x) + \cos (x)}{{\cos (x)}^{2}} - 1 - (\frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1)$

Bước 6.1.2.8

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$ .

$\frac{1 - \cos (x) + \cos (x)}{{\cos (x)}^{2}} - 1 \cdot \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - (\frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1)$

Bước 6.1.2.9

Kết hợp $- 1$ và $\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$ .

$\frac{1 - \cos (x) + \cos (x)}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{- {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - (\frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1)$

Bước 6.1.2.10

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1 - \cos (x) + \cos (x) - {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - (\frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1)$

Bước 6.1.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.3.1

Cộng $- \cos (x)$ và $\cos (x)$ .

$\frac{1 + 0 - {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - (\frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1)$

Bước 6.1.3.2

Cộng $1$ và $0$ .

$\frac{1 - {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - (\frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1)$

Bước 6.1.3.3

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$\frac{1^{2} - {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - (\frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1)$

Bước 6.1.3.4

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = 1$ và $b = \cos (x)$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{{\cos (x)}^{2}} - (\frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1)$

Bước 6.1.4

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{{\cos (x)}^{2}} - (\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - 1)$

Bước 6.1.5

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - - 1$

Bước 6.1.6

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{1}{{\sin (x)}^{2}} + 1$

Bước 6.2

Để viết $\frac{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{{\cos (x)}^{2}}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{{\sin (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{1}{{\sin (x)}^{2}} + 1$

Bước 6.3

Để viết $- \frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{1}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}} + 1$

Bước 6.4

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là ${\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1

Nhân $\frac{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{{\cos (x)}^{2}}$ với $\frac{{\sin (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x)) {\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}} - \frac{1}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}} + 1$

Bước 6.4.2

Nhân $\frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$ với $\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x)) {\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}} - \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2} {\cos (x)}^{2}} + 1$

$\frac{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x)) {\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}} - \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}} + 1$

Bước 6.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x)) {\sin (x)}^{2} - {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}} + 1$

Bước 6.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.6.1

Khai triển $(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.6.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{(1 (1 - \cos (x)) + \cos (x) (1 - \cos (x))) {\sin (x)}^{2} - {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}} + 1$

Bước 6.6.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{(1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) + \cos (x) (1 - \cos (x))) {\sin (x)}^{2} - {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}} + 1$

Bước 6.6.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{(1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \cos (x))) {\sin (x)}^{2} - {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}} + 1$

Bước 6.6.2

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.6.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.6.2.1.1

Nhân $1$ với $1$ .

$\frac{(1 + 1 (- \cos (x)) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \cos (x))) {\sin (x)}^{2} - {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}} + 1$

Bước 6.6.2.1.2

Nhân $- \cos (x)$ với $1$ .

$\frac{(1 - \cos (x) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \cos (x))) {\sin (x)}^{2} - {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}} + 1$

Bước 6.6.2.1.3

Nhân $\cos (x)$ với $1$ .

$\frac{(1 - \cos (x) + \cos (x) + \cos (x) (- \cos (x))) {\sin (x)}^{2} - {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}} + 1$

Bước 6.6.2.1.4

Nhân $\cos (x) (- \cos (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.6.2.1.4.1

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{(1 - \cos (x) + \cos (x) - ({\cos (x)}^{1} \cos (x))) {\sin (x)}^{2} - {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}} + 1$

Bước 6.6.2.1.4.2

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{(1 - \cos (x) + \cos (x) - ({\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1})) {\sin (x)}^{2} - {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}} + 1$

Bước 6.6.2.1.4.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{(1 - \cos (x) + \cos (x) - {\cos (x)}^{1 + 1}) {\sin (x)}^{2} - {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}} + 1$

Bước 6.6.2.1.4.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{(1 - \cos (x) + \cos (x) - {\cos (x)}^{2}) {\sin (x)}^{2} - {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}} + 1$

Bước 6.6.2.2

Cộng $- \cos (x)$ và $\cos (x)$ .

$\frac{(1 + 0 - {\cos (x)}^{2}) {\sin (x)}^{2} - {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}} + 1$

Bước 6.6.2.3

Cộng $1$ và $0$ .

$\frac{(1 - {\cos (x)}^{2}) {\sin (x)}^{2} - {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}} + 1$

Bước 6.6.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1 {\sin (x)}^{2} - {\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2} - {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}} + 1$

Bước 6.6.4

Nhân ${\sin (x)}^{2}$ với $1$ .

$\frac{{\sin (x)}^{2} - {\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2} - {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}} + 1$

Bước 6.7

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\frac{{\sin (x)}^{2} - {\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2} - {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}} + \frac{{\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}}$

Bước 6.8

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{{\sin (x)}^{2} - {\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2} - {\cos (x)}^{2} + {\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}}$

Bước 6.9

Rút gọn tử số.

$\frac{(\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) - \cos (x))}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

Bước 7

Xét vế trái của phương trình.

$\sec^{2} (x) - \csc^{2} (x)$

Bước 8

Quy đổi sang sin và cosin.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Áp dụng đẳng thức nghịch đảo cho $\sec (x)$ .

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} - \csc^{2} (x)$

Bước 8.2

Áp dụng đẳng thức nghịch đảo cho $\csc (x)$ .

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} - {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$

Bước 8.3

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} - {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$

Bước 8.4

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} - \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}$

Bước 9

Rút gọn mỗi số hạng.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

Bước 10

Trừ các phân số cho nhau.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Để viết $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} - \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

Bước 10.2

Để viết $- \frac{1}{\sin^{2} (x)}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} - \frac{1}{\sin^{2} (x)} \cdot \frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Bước 10.3

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.1

Nhân $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ với $\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)} - \frac{1}{\sin^{2} (x)} \cdot \frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Bước 10.3.2

Nhân $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ với $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x) \cos^{2} (x)}$

Bước 10.3.3

Sắp xếp lại các thừa số của $\sin^{2} (x) \cos^{2} (x)$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

Bước 10.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

Bước 11

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = \sin (x)$ và $b = \cos (x)$ .

$\frac{(\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) - \cos (x))}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

Bước 12

Vì hai vế đã được chứng minh là tương đương, nên phương trình là một đẳng thức.

$\sec^{2} (x) - \csc^{2} (x) = \tan^{2} (x) - \cot^{2} (x)$ là một đẳng thức