Đại số Ví dụ

$\frac{x + 3}{4} + \frac{y - 1}{3} = 1$ , $2 x - y = 12$

Bước 1

Đưa mỗi phương trình mặt phẳng về dạng chính tắc.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Để viết $\frac{x + 3}{4}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x + 3}{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{y - 1}{3} = 1, 2 x - y = 12$

Bước 1.1.2

Để viết $\frac{y - 1}{3}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x + 3}{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{y - 1}{3} \cdot \frac{4}{4} = 1, 2 x - y = 12$

Bước 1.1.3

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $12$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Nhân $\frac{x + 3}{4}$ với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{(x + 3) \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{y - 1}{3} \cdot \frac{4}{4} = 1, 2 x - y = 12$

Bước 1.1.3.2

Nhân $4$ với $3$ .

$\frac{(x + 3) \cdot 3}{12} + \frac{y - 1}{3} \cdot \frac{4}{4} = 1, 2 x - y = 12$

Bước 1.1.3.3

Nhân $\frac{y - 1}{3}$ với $\frac{4}{4}$ .

$\frac{(x + 3) \cdot 3}{12} + \frac{(y - 1) \cdot 4}{3 \cdot 4} = 1, 2 x - y = 12$

Bước 1.1.3.4

Nhân $3$ với $4$ .

$\frac{(x + 3) \cdot 3}{12} + \frac{(y - 1) \cdot 4}{12} = 1, 2 x - y = 12$

Bước 1.1.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{(x + 3) \cdot 3 + (y - 1) \cdot 4}{12} = 1, 2 x - y = 12$

Bước 1.1.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{x \cdot 3 + 3 \cdot 3 + (y - 1) \cdot 4}{12} = 1, 2 x - y = 12$

Bước 1.1.5.2

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $x$ .

$\frac{3 \cdot x + 3 \cdot 3 + (y - 1) \cdot 4}{12} = 1, 2 x - y = 12$

Bước 1.1.5.3

Nhân $3$ với $3$ .

$\frac{3 \cdot x + 9 + (y - 1) \cdot 4}{12} = 1, 2 x - y = 12$

Bước 1.1.5.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{3 x + 9 + y \cdot 4 - 1 \cdot 4}{12} = 1, 2 x - y = 12$

Bước 1.1.5.5

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $y$ .

$\frac{3 x + 9 + 4 \cdot y - 1 \cdot 4}{12} = 1, 2 x - y = 12$

Bước 1.1.5.6

Nhân $- 1$ với $4$ .

$\frac{3 x + 9 + 4 \cdot y - 4}{12} = 1, 2 x - y = 12$

Bước 1.1.5.7

Trừ $4$ khỏi $9$ .

$\frac{3 x + 4 y + 5}{12} = 1, 2 x - y = 12$

Bước 1.2

Tách phân số $\frac{3 x + 4 y + 5}{12}$ thành hai phân số.

$\frac{3 x + 4 y}{12} + \frac{5}{12} = 1$

$2 x - y = 12$

Bước 1.3

Tách phân số $\frac{3 x + 4 y}{12}$ thành hai phân số.

$\frac{3 x}{12} + \frac{4 y}{12} + \frac{5}{12} = 1$

$2 x - y = 12$

Bước 1.4

Triệt tiêu thừa số chung của $3$ và $12$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Đưa $3$ ra ngoài $3 x$ .

$\frac{3 (x)}{12} + \frac{4 y}{12} + \frac{5}{12} = 1$

$2 x - y = 12$

Bước 1.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $12$ .

$\frac{3 x}{3 \cdot 4} + \frac{4 y}{12} + \frac{5}{12} = 1$

$2 x - y = 12$

Bước 1.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 x}{3 \cdot 4} + \frac{4 y}{12} + \frac{5}{12} = 1$

$2 x - y = 12$

Bước 1.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{x}{4} + \frac{4 y}{12} + \frac{5}{12} = 1$

$2 x - y = 12$

$\frac{x}{4} + \frac{4 y}{12} + \frac{5}{12} = 1$

$2 x - y = 12$

$\frac{x}{4} + \frac{4 y}{12} + \frac{5}{12} = 1$

$2 x - y = 12$

Bước 1.5

Triệt tiêu thừa số chung của $4$ và $12$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Đưa $4$ ra ngoài $4 y$ .

$\frac{x}{4} + \frac{4 (y)}{12} + \frac{5}{12} = 1$

$2 x - y = 12$

Bước 1.5.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $12$ .

$\frac{x}{4} + \frac{4 y}{4 \cdot 3} + \frac{5}{12} = 1$

$2 x - y = 12$

Bước 1.5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x}{4} + \frac{4 y}{4 \cdot 3} + \frac{5}{12} = 1$

$2 x - y = 12$

Bước 1.5.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{x}{4} + \frac{y}{3} + \frac{5}{12} = 1$

$2 x - y = 12$

$\frac{x}{4} + \frac{y}{3} + \frac{5}{12} = 1$

$2 x - y = 12$

$\frac{x}{4} + \frac{y}{3} + \frac{5}{12} = 1$

$2 x - y = 12$

Bước 1.6

Trừ $\frac{5}{12}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{x}{4} + \frac{y}{3} = 1 - \frac{5}{12}, 2 x - y = 12$

Bước 1.7

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.7.1

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\frac{x}{4} + \frac{y}{3} = \frac{12}{12} - \frac{5}{12}, 2 x - y = 12$

Bước 1.7.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{x}{4} + \frac{y}{3} = \frac{12 - 5}{12}, 2 x - y = 12$

Bước 1.7.3

Trừ $5$ khỏi $12$ .

$\frac{x}{4} + \frac{y}{3} = \frac{7}{12}, 2 x - y = 12$

Bước 2

Để tìm giao điểm của đường thẳng qua một điểm $(p, q, r)$ vuông góc với mặt phẳng $P_{1}$ $a x + b y + c z = d$ và mặt phẳng $P_{2}$ $e x + f y + g z = h$ :

1. Tìm các véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng $P_{1}$ và mặt phẳng $P_{2}$ trong đó các véc tơ pháp tuyến là $n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ và $n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ . Kiểm tra xem tích vô hướng có bằng 0 không.

2. Tạo một tập hợp các phương trình tham số như $x = p + a t$ , $y = q + b t$ , và $z = r + c t$ .

3. Thay các phương trình này vào phương trình mặt phẳng $P_{2}$ sao cho $e (p + a t) + f (q + b t) + g (r + c t) = h$ và giải tìm $t$ .

4. Sử dụng giá trị của $t$ , giải các phương trình tham số $x = p + a t$ , $y = q + b t$ , và $z = r + c t$ để tìm $t$ để tìm giao điểm $(x, y, z)$ .

Bước 3

Tìm các vectơ thường cho mỗi mặt phẳng và xác định xem chúng có vuông góc không bằng cách tính tích vô hướng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

$P_{1}$ là $\frac{x}{4} + \frac{y}{3} = \frac{7}{12}$ . Tìm véc tơ pháp tuyến $n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ từ phương trình mặt phẳng có dạng $a x + b y + c z = d$ .

$n_{1} = ⟨ \frac{1}{4}, \frac{1}{3}, 0 ⟩$

Bước 3.2

$P_{2}$ là $2 x - y = 12$ . Tìm véc tơ pháp tuyến $n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ từ phương trình mặt phẳng có dạng $e x + f y + g z = h$ .

$n_{2} = ⟨ 2, - 1, 0 ⟩$

Bước 3.3

Tính tích vô hướng của $n_{1}$ và $n_{2}$ bằng cách lấy tổng các tích của các giá trị tương ứng $x$ , $y$ , và $z$ trong các véc tơ pháp tuyến.

$\frac{1}{4} \cdot 2 + \frac{1}{3} \cdot - 1 + 0 \cdot 0$

Bước 3.4

Rút gọn tích vô hướng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$\frac{1}{4} \cdot 2 + \frac{1}{3} \cdot - 1 + 0 \cdot 0$

Bước 3.4.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$\frac{1}{2 (2)} \cdot 2 + \frac{1}{3} \cdot - 1 + 0 \cdot 0$

Bước 3.4.2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{2 \cdot 2} \cdot 2 + \frac{1}{3} \cdot - 1 + 0 \cdot 0$

Bước 3.4.2.1.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot - 1 + 0 \cdot 0$

Bước 3.4.2.2

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $- 1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{- 1}{3} + 0 \cdot 0$

Bước 3.4.2.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{2} - \frac{1}{3} + 0 \cdot 0$

Bước 3.4.2.4

Nhân $0$ với $0$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{3} + 0$

Bước 3.4.3

Để viết $\frac{1}{2}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3} + 0$

Bước 3.4.4

Để viết $- \frac{1}{3}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} + 0$

Bước 3.4.5

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $6$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.5.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3}{2 \cdot 3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} + 0$

Bước 3.4.5.2

Nhân $2$ với $3$ .

$\frac{3}{6} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} + 0$

Bước 3.4.5.3

Nhân $\frac{1}{3}$ với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{6} - \frac{2}{3 \cdot 2} + 0$

Bước 3.4.5.4

Nhân $3$ với $2$ .

$\frac{3}{6} - \frac{2}{6} + 0$

Bước 3.4.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{3 - 2}{6} + 0$

Bước 3.4.7

Trừ $2$ khỏi $3$ .

$\frac{1}{6} + 0$

Bước 3.4.8

Cộng $\frac{1}{6}$ và $0$ .

$\frac{1}{6}$

Bước 4

Tiếp theo, ta xây dựng một tập hợp các phương trình tham số $x = p + a t$ , $y = q + b t$ , và $z = r + c t$ bằng gốc tọa độ $(0, 0, 0)$ cho điểm $(p, q, r)$ và các giá trị từ vectơ pháp tuyến $\frac{1}{6}$ cho các giá trị của $a$ , $b$ , và $c$ . Tập hợp các phương trình tham số này biểu diễn đường thẳng đi qua gốc tọa độ và vuông góc với $P_{1}$ $\frac{x}{4} + \frac{y}{3} = \frac{7}{12}$ .

$x = 0 + \frac{1}{4} t$

$y = 0 + \frac{1}{3} t$

$z = 0 + 0 \cdot t$

Bước 5

Thay biểu thức cho $x$ , $y$ và $z$ vào phương trình cho $P_{2}$ $2 x - y = 12$ .

$2 (0 + \frac{1}{4} t) - (0 + \frac{1}{3} t) = 12$

Bước 6

Giải phương trình để tìm $t$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Rút gọn $2 (0 + \frac{1}{4} t) - (0 + \frac{1}{3} t)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $2 (0 + \frac{1}{4} t) - (0 + \frac{1}{3} t)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.1

Cộng $0$ và $\frac{1}{4} t$ .

$2 (\frac{1}{4} t) - (0 + \frac{1}{3} t) = 12$

Bước 6.1.1.2

Cộng $0$ và $\frac{1}{3} t$ .

$2 (\frac{1}{4} t) - (\frac{1}{3} t) = 12$

Bước 6.1.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.2.1

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $t$ .

$2 \frac{t}{4} - (\frac{1}{3} t) = 12$

Bước 6.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$2 \frac{t}{2 (2)} - (\frac{1}{3} t) = 12$

Bước 6.1.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \frac{t}{2 \cdot 2} - (\frac{1}{3} t) = 12$

Bước 6.1.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{t}{2} - (\frac{1}{3} t) = 12$

Bước 6.1.2.3

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $t$ .

$\frac{t}{2} - \frac{t}{3} = 12$

Bước 6.1.3

Để viết $\frac{t}{2}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{t}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{t}{3} = 12$

Bước 6.1.4

Để viết $- \frac{t}{3}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{t}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{t}{3} \cdot \frac{2}{2} = 12$

Bước 6.1.5

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $6$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.5.1

Nhân $\frac{t}{2}$ với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{t \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{t}{3} \cdot \frac{2}{2} = 12$

Bước 6.1.5.2

Nhân $2$ với $3$ .

$\frac{t \cdot 3}{6} - \frac{t}{3} \cdot \frac{2}{2} = 12$

Bước 6.1.5.3

Nhân $\frac{t}{3}$ với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{t \cdot 3}{6} - \frac{t \cdot 2}{3 \cdot 2} = 12$

Bước 6.1.5.4

Nhân $3$ với $2$ .

$\frac{t \cdot 3}{6} - \frac{t \cdot 2}{6} = 12$

Bước 6.1.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{t \cdot 3 - t \cdot 2}{6} = 12$

Bước 6.1.7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.7.1

Đưa $t$ ra ngoài $t \cdot 3 - t \cdot 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.7.1.1

Đưa $t$ ra ngoài $t \cdot 3$ .

$\frac{t (3) - t \cdot 2}{6} = 12$

Bước 6.1.7.1.2

Đưa $t$ ra ngoài $- t \cdot 2$ .

$\frac{t (3) + t (- 1 \cdot 2)}{6} = 12$

Bước 6.1.7.1.3

Đưa $t$ ra ngoài $t (3) + t (- 1 \cdot 2)$ .

$\frac{t (3 - 1 \cdot 2)}{6} = 12$

Bước 6.1.7.2

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{t (3 - 2)}{6} = 12$

Bước 6.1.7.3

Trừ $2$ khỏi $3$ .

$\frac{t \cdot 1}{6} = 12$

Bước 6.1.8

Nhân $t$ với $1$ .

$\frac{t}{6} = 12$

Bước 6.2

Nhân cả hai vế của phương trình với $6$ .

$6 \frac{t}{6} = 6 \cdot 12$

Bước 6.3

Rút gọn cả hai vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$6 \frac{t}{6} = 6 \cdot 12$

Bước 6.3.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$t = 6 \cdot 12$

Bước 6.3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.1

Nhân $6$ với $12$ .

$t = 72$

Bước 7

Giải các phương trình tham số cho $x$ , $y$ , và $z$ bằng giá trị của $t$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Giải phương trình để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1

Nhân $\frac{1}{4}$ với $72$ .

$x = 0 + \frac{1}{4} \cdot 72$

Bước 7.1.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$x = 0 + \frac{1}{4} \cdot (72)$

Bước 7.1.3

Rút gọn $0 + \frac{1}{4} \cdot (72)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.3.1

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.3.1.1

Đưa $4$ ra ngoài $72$ .

$x = 0 + \frac{1}{4} \cdot (4 (18))$

Bước 7.1.3.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$x = 0 + \frac{1}{4} \cdot (4 \cdot 18)$

Bước 7.1.3.1.3

Viết lại biểu thức.

$x = 0 + 18$

Bước 7.1.3.2

Cộng $0$ và $18$ .

$x = 18$

Bước 7.2

Giải phương trình để tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Nhân $\frac{1}{3}$ với $72$ .

$y = 0 + \frac{1}{3} \cdot 72$

Bước 7.2.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$y = 0 + \frac{1}{3} \cdot (72)$

Bước 7.2.3

Rút gọn $0 + \frac{1}{3} \cdot (72)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.1.1

Đưa $3$ ra ngoài $72$ .

$y = 0 + \frac{1}{3} \cdot (3 (24))$

Bước 7.2.3.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = 0 + \frac{1}{3} \cdot (3 \cdot 24)$

Bước 7.2.3.1.3

Viết lại biểu thức.

$y = 0 + 24$

Bước 7.2.3.2

Cộng $0$ và $24$ .

$y = 24$

Bước 7.3

Giải phương trình để tìm $z$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$z = 0 + 0 \cdot (72)$

Bước 7.3.2

Rút gọn $0 + 0 \cdot (72)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.2.1

Nhân $0$ với $72$ .

$z = 0 + 0$

Bước 7.3.2.2

Cộng $0$ và $0$ .

$z = 0$

Bước 7.4

Các phương trình tham số đã giải cho $x$ , $y$ , và $z$ .

$x = 18$

$y = 24$

$z = 0$

$x = 18$

$y = 24$

$z = 0$

Bước 8

Sử dụng các giá trị được tính cho $x$ , $y$ và $z$ , giao điểm tìm được là $(18, 24, 0)$ .

$(18, 24, 0)$