Đại số Ví dụ

$\ln^{2} (x)$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = \ln (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\ln (x)$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (\ln (x))$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$f' (x) = 2 u \frac{d}{d x} (\ln (x))$

Bước 1.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\ln (x)$ .

$f' (x) = 2 \ln (x) \frac{d}{d x} (\ln (x))$

Bước 1.2

Đạo hàm của $\ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{x}$ .

$f' (x) = 2 \ln (x) (\frac{1}{x})$

Bước 1.3

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Kết hợp $\frac{1}{x}$ và $2$ .

$f' (x) = \frac{2}{x} \cdot \ln (x)$

Bước 1.3.2

Kết hợp $\frac{2}{x}$ và $\ln (x)$ .

$f' (x) = \frac{2 \ln (x)}{x}$

Bước 1.4

Rút gọn $2 \ln (x)$ bằng cách di chuyển $2$ trong logarit.

$f' (x) = \frac{\ln (x^{2})}{x}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = \ln (x^{2})$ và $g (x) = x$ .

$f'' (x) = \frac{x \frac{d}{d x} (\ln (x^{2})) - \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{x (\frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (x^{2})) - \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Bước 2.2.2

Đạo hàm của $\ln (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{u}$ .

$f'' (x) = \frac{x (\frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2})) - \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Bước 2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{x (\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2})) - \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Kết hợp $\frac{1}{x^{2}}$ và $x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2}) - \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Bước 2.3.2

Triệt tiêu thừa số chung của $x$ và $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2}) - \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Bước 2.3.2.2

Đưa $x$ ra ngoài $x^{1}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x \cdot 1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2}) - \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Bước 2.3.2.3

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.3.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2}) - \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Bước 2.3.2.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f'' (x) = \frac{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2}) - \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Bước 2.3.2.3.3

Viết lại biểu thức.

$f'' (x) = \frac{\frac{1}{x} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2}) - \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Bước 2.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{1}{x} \cdot (2 x) - \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Bước 2.3.4

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.4.1

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2}{x} \cdot x - \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Bước 2.3.4.2

Kết hợp $\frac{2}{x}$ và $x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x}{x} - \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Bước 2.3.4.3

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.4.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x}{x} - \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Bước 2.3.4.3.2

Chia $2$ cho $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 - \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} x}{x^{2}}$

Bước 2.3.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{2 - \ln (x^{2}) \cdot 1}{x^{2}}$

Bước 2.3.6

Nhân $- 1$ với $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 - \ln (x^{2})}{x^{2}}$