Đại số Ví dụ

$y = 3 x e^{- k x}$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d k} (y) = \frac{d}{d k} (3 x e^{- k x})$

Bước 2

Vì $y$ là hằng số đối với $k$ , đạo hàm của $y$ đối với $k$ là $0$ .

$0$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $3$ không đổi đối với $k$ , nên đạo hàm của $3 x e^{- k x}$ đối với $k$ là $3 \frac{d}{d k} [x e^{- k x}]$ .

$3 \frac{d}{d k} [x e^{- k x}]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d k} [f (k) g (k)]$ là $f (k) \frac{d}{d k} [g (k)] + g (k) \frac{d}{d k} [f (k)]$ trong đó $f (k) = x$ và $g (k) = e^{- k x}$ .

$3 (x \frac{d}{d k} [e^{- k x}] + e^{- k x} \frac{d}{d k} [x])$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d k} [f (g (k))]$ là $f' (g (k)) g' (k)$ trong đó $f (k) = e^{k}$ và $g (k) = - k x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $- k x$ .

$3 (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d k} [- k x]) + e^{- k x} \frac{d}{d k} [x])$

Bước 3.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$3 (x (e^{u} \frac{d}{d k} [- k x]) + e^{- k x} \frac{d}{d k} [x])$

Bước 3.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $- k x$ .

$3 (x (e^{- k x} \frac{d}{d k} [- k x]) + e^{- k x} \frac{d}{d k} [x])$

Bước 3.4

Vì $- 1$ không đổi đối với $k$ , nên đạo hàm của $- k x$ đối với $k$ là $- \frac{d}{d k} [k x]$ .

$3 (x (e^{- k x} (- \frac{d}{d k} [k x])) + e^{- k x} \frac{d}{d k} [x])$

Bước 3.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d k} [f (k) g (k)]$ là $f (k) \frac{d}{d k} [g (k)] + g (k) \frac{d}{d k} [f (k)]$ trong đó $f (k) = k$ và $g (k) = x$ .

$3 (x (e^{- k x} (- (k \frac{d}{d k} [x] + x \frac{d}{d k} [k]))) + e^{- k x} \frac{d}{d k} [x])$

Bước 3.6

Viết lại $\frac{d}{d k} [x]$ ở dạng $x'$ .

$3 (x (e^{- k x} (- (k x' + x \frac{d}{d k} [k]))) + e^{- k x} \frac{d}{d k} [x])$

Bước 3.7

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d k} [k^{n}]$ là $n k^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$3 (x (e^{- k x} (- (k x' + x \cdot 1))) + e^{- k x} \frac{d}{d k} [x])$

Bước 3.8

Nhân $x$ với $1$ .

$3 (x (e^{- k x} (- (k x' + x))) + e^{- k x} \frac{d}{d k} [x])$

Bước 3.9

Viết lại $\frac{d}{d k} [x]$ ở dạng $x'$ .

$3 (x (e^{- k x} (- (k x' + x))) + e^{- k x} x')$

Bước 3.10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.10.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$3 (x (e^{- k x} (- (k x') - x)) + e^{- k x} x')$

Bước 3.10.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$3 (x (e^{- k x} (- (k x')) + e^{- k x} (- x)) + e^{- k x} x')$

Bước 3.10.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$3 (x (e^{- k x} (- (k x'))) + x (e^{- k x} (- x)) + e^{- k x} x')$

Bước 3.10.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$3 (x (e^{- k x} (- (k x')))) + 3 (x (e^{- k x} (- x))) + 3 (e^{- k x} x')$

Bước 3.10.5

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.10.5.1

Nhân $- 1$ với $3$ .

$- 3 (x (e^{- k x} (k x'))) + 3 (x (e^{- k x} (- x))) + 3 (e^{- k x} x')$

Bước 3.10.5.2

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$- 3 x (e^{- k x} (k x')) + 3 (x^{1} x (e^{- k x} \cdot (- 1))) + 3 (e^{- k x} x')$

Bước 3.10.5.3

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$- 3 x (e^{- k x} (k x')) + 3 (x^{1} x^{1} (e^{- k x} \cdot (- 1))) + 3 (e^{- k x} x')$

Bước 3.10.5.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- 3 x (e^{- k x} (k x')) + 3 (x^{1 + 1} (e^{- k x} \cdot (- 1))) + 3 (e^{- k x} x')$

Bước 3.10.5.5

Cộng $1$ và $1$ .

$- 3 x (e^{- k x} (k x')) + 3 (x^{2} (e^{- k x} \cdot (- 1))) + 3 (e^{- k x} x')$

Bước 3.10.5.6

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $e^{- k x}$ .

$- 3 x (e^{- k x} (k x')) + 3 (x^{2} (- 1 \cdot e^{- k x})) + 3 (e^{- k x} x')$

Bước 3.10.5.7

Viết lại $- 1 e^{- k x}$ ở dạng $- e^{- k x}$ .

$- 3 x (e^{- k x} (k x')) + 3 (x^{2} (- e^{- k x})) + 3 (e^{- k x} x')$

Bước 3.10.5.8

Nhân $- 1$ với $3$ .

$- 3 x (e^{- k x} (k x')) - 3 x^{2} e^{- k x} + 3 e^{- k x} x'$

Bước 3.10.6

Sắp xếp lại các số hạng.

$- 3 e^{- k x} k x x' - 3 e^{- k x} x^{2} + 3 e^{- k x} x'$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$0 = - 3 e^{- k x} k x x' - 3 e^{- k x} x^{2} + 3 e^{- k x} x'$

Bước 5

Giải tìm $x'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Viết lại phương trình ở dạng $- 3 e^{- k x} k x x' - 3 e^{- k x} x^{2} + 3 e^{- k x} x' = 0$ .

$- 3 e^{- k x} k x x' - 3 e^{- k x} x^{2} + 3 e^{- k x} x' = 0$

Bước 5.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $- 3 e^{- k x} k x x' - 3 e^{- k x} x^{2} + 3 e^{- k x} x'$ .

$- 3 k x x' e^{- k x} - 3 x^{2} e^{- k x} + 3 x' e^{- k x} = 0$

Bước 5.3

Cộng $3 x^{2} e^{- k x}$ cho cả hai vế của phương trình.

$- 3 k x x' e^{- k x} + 3 x' e^{- k x} = 3 x^{2} e^{- k x}$

Bước 5.4

Đưa $3 x' e^{- k x}$ ra ngoài $- 3 k x x' e^{- k x} + 3 x' e^{- k x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Đưa $3 x' e^{- k x}$ ra ngoài $- 3 k x x' e^{- k x}$ .

$3 x' e^{- k x} (- k x) + 3 x' e^{- k x} = 3 x^{2} e^{- k x}$

Bước 5.4.2

Đưa $3 x' e^{- k x}$ ra ngoài $3 x' e^{- k x}$ .

$3 x' e^{- k x} (- k x) + 3 x' e^{- k x} \cdot 1 = 3 x^{2} e^{- k x}$

Bước 5.4.3

Đưa $3 x' e^{- k x}$ ra ngoài $3 x' e^{- k x} (- k x) + 3 x' e^{- k x} \cdot 1$ .

$3 x' e^{- k x} (- k x + 1) = 3 x^{2} e^{- k x}$

Bước 5.5

Chia mỗi số hạng trong $3 x' e^{- k x} (- k x + 1) = 3 x^{2} e^{- k x}$ cho $3 e^{- k x} (- k x + 1)$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1

Chia mỗi số hạng trong $3 x' e^{- k x} (- k x + 1) = 3 x^{2} e^{- k x}$ cho $3 e^{- k x} (- k x + 1)$ .

$\frac{3 x' e^{- k x} (- k x + 1)}{3 e^{- k x} (- k x + 1)} = \frac{3 x^{2} e^{- k x}}{3 e^{- k x} (- k x + 1)}$

Bước 5.5.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 x' e^{- k x} (- k x + 1)}{3 e^{- k x} (- k x + 1)} = \frac{3 x^{2} e^{- k x}}{3 e^{- k x} (- k x + 1)}$

Bước 5.5.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{x' e^{- k x} (- k x + 1)}{e^{- k x} (- k x + 1)} = \frac{3 x^{2} e^{- k x}}{3 e^{- k x} (- k x + 1)}$

Bước 5.5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $e^{- k x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x' e^{- k x} (- k x + 1)}{e^{- k x} (- k x + 1)} = \frac{3 x^{2} e^{- k x}}{3 e^{- k x} (- k x + 1)}$

Bước 5.5.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{x' (- k x + 1)}{- k x + 1} = \frac{3 x^{2} e^{- k x}}{3 e^{- k x} (- k x + 1)}$

Bước 5.5.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $- k x + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x' (- k x + 1)}{- k x + 1} = \frac{3 x^{2} e^{- k x}}{3 e^{- k x} (- k x + 1)}$

Bước 5.5.2.3.2

Chia $x'$ cho $1$ .

$x' = \frac{3 x^{2} e^{- k x}}{3 e^{- k x} (- k x + 1)}$

Bước 5.5.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.3.1

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$x' = \frac{3 x^{2} e^{- k x}}{3 e^{- k x} (- k x + 1)}$

Bước 5.5.3.1.2

Viết lại biểu thức.

$x' = \frac{x^{2} e^{- k x}}{e^{- k x} (- k x + 1)}$

Bước 5.5.3.2

Triệt tiêu thừa số chung $e^{- k x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$x' = \frac{x^{2} e^{- k x}}{e^{- k x} (- k x + 1)}$

Bước 5.5.3.2.2

Viết lại biểu thức.

$x' = \frac{x^{2}}{- k x + 1}$

Bước 5.5.3.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $- k x$ .

$x' = \frac{x^{2}}{- (k x) + 1}$

Bước 5.5.3.4

Viết lại $1$ ở dạng $- 1 (- 1)$ .

$x' = \frac{x^{2}}{- (k x) - 1 (- 1)}$

Bước 5.5.3.5

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (k x) - 1 (- 1)$ .

$x' = \frac{x^{2}}{- (k x - 1)}$

Bước 5.5.3.6

Viết lại các số âm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.3.6.1

Viết lại $- (k x - 1)$ ở dạng $- 1 (k x - 1)$ .

$x' = \frac{x^{2}}{- 1 (k x - 1)}$

Bước 5.5.3.6.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$x' = - \frac{x^{2}}{k x - 1}$

Bước 6

Thay thế $x'$ bằng $\frac{d x}{d k}$ .

$\frac{d x}{d k} = - \frac{x^{2}}{k x - 1}$