Đại số Ví dụ

$x^{2} \cos (y) + \sin (2 y) = x y$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d y} (x^{2} \cos (y) + \sin (2 y)) = \frac{d}{d y} (x y)$

Bước 2

Tính đạo hàm vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} \cos (y) + \sin (2 y)$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [x^{2} \cos (y)] + \frac{d}{d y} [\sin (2 y)]$ .

$\frac{d}{d y} [x^{2} \cos (y)] + \frac{d}{d y} [\sin (2 y)]$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d y} [x^{2} \cos (y)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ là $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ trong đó $f (y) = x^{2}$ và $g (y) = \cos (y)$ .

$x^{2} \frac{d}{d y} [\cos (y)] + \cos (y) \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [\sin (2 y)]$

Bước 2.2.2

Đạo hàm của $\cos (y)$ đối với $y$ là $- \sin (y)$ .

$x^{2} (- \sin (y)) + \cos (y) \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [\sin (2 y)]$

Bước 2.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ là $f' (g (y)) g' (y)$ trong đó $f (y) = y^{2}$ và $g (y) = x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $x$ .

$x^{2} (- \sin (y)) + \cos (y) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [\sin (2 y)]$

Bước 2.2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$x^{2} (- \sin (y)) + \cos (y) (2 u_{1} \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [\sin (2 y)]$

Bước 2.2.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $x$ .

$x^{2} (- \sin (y)) + \cos (y) (2 x \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [\sin (2 y)]$

Bước 2.2.4

Viết lại $\frac{d}{d y} [x]$ ở dạng $x'$ .

$x^{2} (- \sin (y)) + \cos (y) (2 x x') + \frac{d}{d y} [\sin (2 y)]$

Bước 2.2.5

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\cos (y)$ .

$x^{2} (- \sin (y)) + 2 \cos (y) x x' + \frac{d}{d y} [\sin (2 y)]$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d y} [\sin (2 y)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ là $f' (g (y)) g' (y)$ trong đó $f (y) = \sin (y)$ và $g (y) = 2 y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $2 y$ .

$x^{2} (- \sin (y)) + 2 \cos (y) x x' + \frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d y} [2 y]$

Bước 2.3.1.2

Đạo hàm của $\sin (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $\cos (u_{2})$ .

$x^{2} (- \sin (y)) + 2 \cos (y) x x' + \cos (u_{2}) \frac{d}{d y} [2 y]$

Bước 2.3.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $2 y$ .

$x^{2} (- \sin (y)) + 2 \cos (y) x x' + \cos (2 y) \frac{d}{d y} [2 y]$

Bước 2.3.2

Vì $2$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $2 y$ đối với $y$ là $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$x^{2} (- \sin (y)) + 2 \cos (y) x x' + \cos (2 y) (2 \frac{d}{d y} [y])$

Bước 2.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$x^{2} (- \sin (y)) + 2 \cos (y) x x' + \cos (2 y) (2 \cdot 1)$

Bước 2.3.4

Nhân $2$ với $1$ .

$x^{2} (- \sin (y)) + 2 \cos (y) x x' + \cos (2 y) \cdot 2$

Bước 2.3.5

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\cos (2 y)$ .

$x^{2} (- \sin (y)) + 2 \cos (y) x x' + 2 \cos (2 y)$

Bước 2.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$- x^{2} \sin (y) + 2 x \cos (y) x' + 2 \cos (2 y)$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ là $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ trong đó $f (y) = x$ và $g (y) = y$ .

$x \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$x \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x]$

Bước 3.2.2

Nhân $x$ với $1$ .

$x + y \frac{d}{d y} [x]$

Bước 3.3

Viết lại $\frac{d}{d y} [x]$ ở dạng $x'$ .

$x + y x'$

Bước 3.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$y x' + x$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$- x^{2} \sin (y) + 2 x \cos (y) x' + 2 \cos (2 y) = y x' + x$

Bước 5

Giải tìm $x'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Sử dụng đẳng thức góc nhân đôi để chuyển $\cos (2 x)$ thành $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$- x^{2} \sin (y) + 2 x \cos (y) x' + 2 (1 - 2 \sin^{2} (y)) = y x' + x$

Bước 5.2

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $x'$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Cộng $x^{2} \sin (y)$ cho cả hai vế của phương trình.

$2 x \cos (y) x' + 2 (1 - 2 \sin^{2} (y)) = y x' + x + x^{2} \sin (y)$

Bước 5.2.2

Trừ $2 (1 - 2 \sin^{2} (y))$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$2 x \cos (y) x' = y x' + x + x^{2} \sin (y) - 2 (1 - 2 \sin^{2} (y))$

Bước 5.3

Trừ $y x'$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$2 x \cos (y) x' - y x' = x + x^{2} \sin (y) - 2 (1 - 2 \sin^{2} (y))$

Bước 5.4

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Sắp xếp lại các thừa số trong $2 x \cos (y) x' - y x'$ .

$2 x x' \cos (y) - y x' = x + x^{2} \sin (y) - 2 (1 - 2 \sin^{2} (y))$

Bước 5.5

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 x x' \cos (y) - y x' = x + x^{2} \sin (y) - 2 \cdot 1 - 2 (- 2 \sin^{2} (y))$

Bước 5.5.1.2

Nhân $- 2$ với $1$ .

$2 x x' \cos (y) - y x' = x + x^{2} \sin (y) - 2 - 2 (- 2 \sin^{2} (y))$

Bước 5.5.1.3

Nhân $- 2$ với $- 2$ .

$2 x x' \cos (y) - y x' = x + x^{2} \sin (y) - 2 + 4 \sin^{2} (y)$

Bước 5.6

Giải phương trình để tìm $x'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.1

Đưa $x'$ ra ngoài $2 x x' \cos (y) - y x'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.1.1

Đưa $x'$ ra ngoài $2 x x' \cos (y)$ .

$x' (2 x \cos (y)) - y x' = x + x^{2} \sin (y) - 2 + 4 \sin^{2} (y)$

Bước 5.6.1.2

Đưa $x'$ ra ngoài $- y x'$ .

$x' (2 x \cos (y)) + x' (- y) = x + x^{2} \sin (y) - 2 + 4 \sin^{2} (y)$

Bước 5.6.1.3

Đưa $x'$ ra ngoài $x' (2 x \cos (y)) + x' (- y)$ .

$x' (2 x \cos (y) - y) = x + x^{2} \sin (y) - 2 + 4 \sin^{2} (y)$

Bước 5.6.2

Chia mỗi số hạng trong $x' (2 x \cos (y) - y) = x + x^{2} \sin (y) - 2 + 4 \sin^{2} (y)$ cho $2 x \cos (y) - y$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.2.1

Chia mỗi số hạng trong $x' (2 x \cos (y) - y) = x + x^{2} \sin (y) - 2 + 4 \sin^{2} (y)$ cho $2 x \cos (y) - y$ .

$\frac{x' (2 x \cos (y) - y)}{2 x \cos (y) - y} = \frac{x}{2 x \cos (y) - y} + \frac{x^{2} \sin (y)}{2 x \cos (y) - y} + \frac{- 2}{2 x \cos (y) - y} + \frac{4 \sin^{2} (y)}{2 x \cos (y) - y}$

Bước 5.6.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2 x \cos (y) - y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x' (2 x \cos (y) - y)}{2 x \cos (y) - y} = \frac{x}{2 x \cos (y) - y} + \frac{x^{2} \sin (y)}{2 x \cos (y) - y} + \frac{- 2}{2 x \cos (y) - y} + \frac{4 \sin^{2} (y)}{2 x \cos (y) - y}$

Bước 5.6.2.2.1.2

Chia $x'$ cho $1$ .

$x' = \frac{x}{2 x \cos (y) - y} + \frac{x^{2} \sin (y)}{2 x \cos (y) - y} + \frac{- 2}{2 x \cos (y) - y} + \frac{4 \sin^{2} (y)}{2 x \cos (y) - y}$

Bước 5.6.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.2.3.1

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.2.3.1.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$x' = \frac{x}{2 x \cos (y) - y} + \frac{x^{2} \sin (y)}{2 x \cos (y) - y} - \frac{2}{2 x \cos (y) - y} + \frac{4 \sin^{2} (y)}{2 x \cos (y) - y}$

Bước 5.6.2.3.1.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$x' = \frac{x + x^{2} \sin (y)}{2 x \cos (y) - y} - \frac{2}{2 x \cos (y) - y} + \frac{4 \sin^{2} (y)}{2 x \cos (y) - y}$

Bước 5.6.2.3.1.3

Đưa $x$ ra ngoài $x + x^{2} \sin (y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.2.3.1.3.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$x' = \frac{x^{1} + x^{2} \sin (y)}{2 x \cos (y) - y} - \frac{2}{2 x \cos (y) - y} + \frac{4 \sin^{2} (y)}{2 x \cos (y) - y}$

Bước 5.6.2.3.1.3.2

Đưa $x$ ra ngoài $x^{1}$ .

$x' = \frac{x \cdot 1 + x^{2} \sin (y)}{2 x \cos (y) - y} - \frac{2}{2 x \cos (y) - y} + \frac{4 \sin^{2} (y)}{2 x \cos (y) - y}$

Bước 5.6.2.3.1.3.3

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2} \sin (y)$ .

$x' = \frac{x \cdot 1 + x (x \sin (y))}{2 x \cos (y) - y} - \frac{2}{2 x \cos (y) - y} + \frac{4 \sin^{2} (y)}{2 x \cos (y) - y}$

Bước 5.6.2.3.1.3.4

Đưa $x$ ra ngoài $x \cdot 1 + x (x \sin (y))$ .

$x' = \frac{x (1 + x \sin (y))}{2 x \cos (y) - y} - \frac{2}{2 x \cos (y) - y} + \frac{4 \sin^{2} (y)}{2 x \cos (y) - y}$

Bước 5.6.2.3.1.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$x' = \frac{x (1 + x \sin (y)) - 2}{2 x \cos (y) - y} + \frac{4 \sin^{2} (y)}{2 x \cos (y) - y}$

Bước 5.6.2.3.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.2.3.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x' = \frac{x \cdot 1 + x (x \sin (y)) - 2}{2 x \cos (y) - y} + \frac{4 \sin^{2} (y)}{2 x \cos (y) - y}$

Bước 5.6.2.3.2.2

Nhân $x$ với $1$ .

$x' = \frac{x + x (x \sin (y)) - 2}{2 x \cos (y) - y} + \frac{4 \sin^{2} (y)}{2 x \cos (y) - y}$

Bước 5.6.2.3.2.3

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.2.3.2.3.1

Di chuyển $x$ .

$x' = \frac{x + x \cdot x \sin (y) - 2}{2 x \cos (y) - y} + \frac{4 \sin^{2} (y)}{2 x \cos (y) - y}$

Bước 5.6.2.3.2.3.2

Nhân $x$ với $x$ .

$x' = \frac{x + x^{2} \sin (y) - 2}{2 x \cos (y) - y} + \frac{4 \sin^{2} (y)}{2 x \cos (y) - y}$

Bước 5.6.2.3.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$x' = \frac{x + x^{2} \sin (y) - 2 + 4 \sin^{2} (y)}{2 x \cos (y) - y}$

Bước 6

Thay thế $x'$ bằng $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{x + x^{2} \sin (y) - 2 + 4 \sin^{2} (y)}{2 x \cos (y) - y}$