Đại số Ví dụ

${(5 + 5 i)}^{4}$

Bước 1

Sử dụng định lý khai triển nhị thức để tìm từng số hạng. Định lý nhị thức nói rằng ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ .

$\sum_{k = 0}^{4} \frac{4!}{(4 - k)! k!} \cdot {(5)}^{4 - k} \cdot {(5 i)}^{k}$

Bước 2

Khai triển tổng.

$\frac{4!}{(4 - 0)! 0!} \cdot {(5)}^{4 - 0} \cdot {(5 i)}^{0} + \frac{4!}{(4 - 1)! 1!} \cdot {(5)}^{4 - 1} \cdot {(5 i)}^{1} + \frac{4!}{(4 - 2)! 2!} \cdot {(5)}^{4 - 2} \cdot {(5 i)}^{2} + \frac{4!}{(4 - 3)! 3!} \cdot {(5)}^{4 - 3} \cdot {(5 i)}^{3} + \frac{4!}{(4 - 4)! 4!} \cdot {(5)}^{4 - 4} \cdot {(5 i)}^{4}$

Bước 3

Rút gọn số mũ của mỗi số hạng của tổng đã được khai triển.

$1 \cdot {(5)}^{4} \cdot {(5 i)}^{0} + 4 \cdot {(5)}^{3} \cdot {(5 i)}^{1} + 6 \cdot {(5)}^{2} \cdot {(5 i)}^{2} + 4 \cdot {(5)}^{1} \cdot {(5 i)}^{3} + 1 \cdot {(5)}^{0} \cdot {(5 i)}^{4}$

Bước 4

Rút gọn kết quả đa thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Nhân ${(5)}^{4}$ với $1$ .

${(5)}^{4} \cdot {(5 i)}^{0} + 4 \cdot {(5)}^{3} \cdot {(5 i)}^{1} + 6 \cdot {(5)}^{2} \cdot {(5 i)}^{2} + 4 \cdot {(5)}^{1} \cdot {(5 i)}^{3} + 1 \cdot {(5)}^{0} \cdot {(5 i)}^{4}$

Bước 4.1.2

Nâng $5$ lên lũy thừa $4$ .

$625 \cdot {(5 i)}^{0} + 4 \cdot {(5)}^{3} \cdot {(5 i)}^{1} + 6 \cdot {(5)}^{2} \cdot {(5 i)}^{2} + 4 \cdot {(5)}^{1} \cdot {(5 i)}^{3} + 1 \cdot {(5)}^{0} \cdot {(5 i)}^{4}$

Bước 4.1.3

Áp dụng quy tắc tích số cho $5 i$ .

$625 \cdot (5^{0} i^{0}) + 4 \cdot {(5)}^{3} \cdot {(5 i)}^{1} + 6 \cdot {(5)}^{2} \cdot {(5 i)}^{2} + 4 \cdot {(5)}^{1} \cdot {(5 i)}^{3} + 1 \cdot {(5)}^{0} \cdot {(5 i)}^{4}$

Bước 4.1.4

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$625 \cdot (1 i^{0}) + 4 \cdot {(5)}^{3} \cdot {(5 i)}^{1} + 6 \cdot {(5)}^{2} \cdot {(5 i)}^{2} + 4 \cdot {(5)}^{1} \cdot {(5 i)}^{3} + 1 \cdot {(5)}^{0} \cdot {(5 i)}^{4}$

Bước 4.1.5

Nhân $i^{0}$ với $1$ .

$625 \cdot i^{0} + 4 \cdot {(5)}^{3} \cdot {(5 i)}^{1} + 6 \cdot {(5)}^{2} \cdot {(5 i)}^{2} + 4 \cdot {(5)}^{1} \cdot {(5 i)}^{3} + 1 \cdot {(5)}^{0} \cdot {(5 i)}^{4}$

Bước 4.1.6

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$625 \cdot 1 + 4 \cdot {(5)}^{3} \cdot {(5 i)}^{1} + 6 \cdot {(5)}^{2} \cdot {(5 i)}^{2} + 4 \cdot {(5)}^{1} \cdot {(5 i)}^{3} + 1 \cdot {(5)}^{0} \cdot {(5 i)}^{4}$

Bước 4.1.7

Nhân $625$ với $1$ .

$625 + 4 \cdot {(5)}^{3} \cdot {(5 i)}^{1} + 6 \cdot {(5)}^{2} \cdot {(5 i)}^{2} + 4 \cdot {(5)}^{1} \cdot {(5 i)}^{3} + 1 \cdot {(5)}^{0} \cdot {(5 i)}^{4}$

Bước 4.1.8

Nâng $5$ lên lũy thừa $3$ .

$625 + 4 \cdot 125 \cdot {(5 i)}^{1} + 6 \cdot {(5)}^{2} \cdot {(5 i)}^{2} + 4 \cdot {(5)}^{1} \cdot {(5 i)}^{3} + 1 \cdot {(5)}^{0} \cdot {(5 i)}^{4}$

Bước 4.1.9

Nhân $4$ với $125$ .

$625 + 500 \cdot {(5 i)}^{1} + 6 \cdot {(5)}^{2} \cdot {(5 i)}^{2} + 4 \cdot {(5)}^{1} \cdot {(5 i)}^{3} + 1 \cdot {(5)}^{0} \cdot {(5 i)}^{4}$

Bước 4.1.10

Rút gọn.

$625 + 500 \cdot (5 i) + 6 \cdot {(5)}^{2} \cdot {(5 i)}^{2} + 4 \cdot {(5)}^{1} \cdot {(5 i)}^{3} + 1 \cdot {(5)}^{0} \cdot {(5 i)}^{4}$

Bước 4.1.11

Nhân $5$ với $500$ .

$625 + 2500 i + 6 \cdot {(5)}^{2} \cdot {(5 i)}^{2} + 4 \cdot {(5)}^{1} \cdot {(5 i)}^{3} + 1 \cdot {(5)}^{0} \cdot {(5 i)}^{4}$

Bước 4.1.12

Nâng $5$ lên lũy thừa $2$ .

$625 + 2500 i + 6 \cdot 25 \cdot {(5 i)}^{2} + 4 \cdot {(5)}^{1} \cdot {(5 i)}^{3} + 1 \cdot {(5)}^{0} \cdot {(5 i)}^{4}$

Bước 4.1.13

Nhân $6$ với $25$ .

$625 + 2500 i + 150 \cdot {(5 i)}^{2} + 4 \cdot {(5)}^{1} \cdot {(5 i)}^{3} + 1 \cdot {(5)}^{0} \cdot {(5 i)}^{4}$

Bước 4.1.14

Áp dụng quy tắc tích số cho $5 i$ .

$625 + 2500 i + 150 \cdot (5^{2} i^{2}) + 4 \cdot {(5)}^{1} \cdot {(5 i)}^{3} + 1 \cdot {(5)}^{0} \cdot {(5 i)}^{4}$

Bước 4.1.15

Nâng $5$ lên lũy thừa $2$ .

$625 + 2500 i + 150 \cdot (25 i^{2}) + 4 \cdot {(5)}^{1} \cdot {(5 i)}^{3} + 1 \cdot {(5)}^{0} \cdot {(5 i)}^{4}$

Bước 4.1.16

Viết lại $i^{2}$ ở dạng $- 1$ .

$625 + 2500 i + 150 \cdot (25 \cdot - 1) + 4 \cdot {(5)}^{1} \cdot {(5 i)}^{3} + 1 \cdot {(5)}^{0} \cdot {(5 i)}^{4}$

Bước 4.1.17

Nhân $150 (25 \cdot - 1)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.17.1

Nhân $25$ với $- 1$ .

$625 + 2500 i + 150 \cdot - 25 + 4 \cdot {(5)}^{1} \cdot {(5 i)}^{3} + 1 \cdot {(5)}^{0} \cdot {(5 i)}^{4}$

Bước 4.1.17.2

Nhân $150$ với $- 25$ .

$625 + 2500 i - 3750 + 4 \cdot {(5)}^{1} \cdot {(5 i)}^{3} + 1 \cdot {(5)}^{0} \cdot {(5 i)}^{4}$

Bước 4.1.18

Tính số mũ.

$625 + 2500 i - 3750 + 4 \cdot 5 \cdot {(5 i)}^{3} + 1 \cdot {(5)}^{0} \cdot {(5 i)}^{4}$

Bước 4.1.19

Nhân $4$ với $5$ .

$625 + 2500 i - 3750 + 20 \cdot {(5 i)}^{3} + 1 \cdot {(5)}^{0} \cdot {(5 i)}^{4}$

Bước 4.1.20

Áp dụng quy tắc tích số cho $5 i$ .

$625 + 2500 i - 3750 + 20 \cdot (5^{3} i^{3}) + 1 \cdot {(5)}^{0} \cdot {(5 i)}^{4}$

Bước 4.1.21

Nâng $5$ lên lũy thừa $3$ .

$625 + 2500 i - 3750 + 20 \cdot (125 i^{3}) + 1 \cdot {(5)}^{0} \cdot {(5 i)}^{4}$

Bước 4.1.22

Đưa $i^{2}$ ra ngoài.

$625 + 2500 i - 3750 + 20 \cdot (125 (i^{2} \cdot i)) + 1 \cdot {(5)}^{0} \cdot {(5 i)}^{4}$

Bước 4.1.23

Viết lại $i^{2}$ ở dạng $- 1$ .

$625 + 2500 i - 3750 + 20 \cdot (125 (- 1 \cdot i)) + 1 \cdot {(5)}^{0} \cdot {(5 i)}^{4}$

Bước 4.1.24

Viết lại $- 1 i$ ở dạng $- i$ .

$625 + 2500 i - 3750 + 20 \cdot (125 (- i)) + 1 \cdot {(5)}^{0} \cdot {(5 i)}^{4}$

Bước 4.1.25

Nhân $- 1$ với $125$ .

$625 + 2500 i - 3750 + 20 \cdot (- 125 i) + 1 \cdot {(5)}^{0} \cdot {(5 i)}^{4}$

Bước 4.1.26

Nhân $- 125$ với $20$ .

$625 + 2500 i - 3750 - 2500 i + 1 \cdot {(5)}^{0} \cdot {(5 i)}^{4}$

Bước 4.1.27

Nhân ${(5)}^{0}$ với $1$ .

$625 + 2500 i - 3750 - 2500 i + {(5)}^{0} \cdot {(5 i)}^{4}$

Bước 4.1.28

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$625 + 2500 i - 3750 - 2500 i + 1 \cdot {(5 i)}^{4}$

Bước 4.1.29

Nhân ${(5 i)}^{4}$ với $1$ .

$625 + 2500 i - 3750 - 2500 i + {(5 i)}^{4}$

Bước 4.1.30

Áp dụng quy tắc tích số cho $5 i$ .

$625 + 2500 i - 3750 - 2500 i + 5^{4} i^{4}$

Bước 4.1.31

Nâng $5$ lên lũy thừa $4$ .

$625 + 2500 i - 3750 - 2500 i + 625 i^{4}$

Bước 4.1.32

Viết lại $i^{4}$ ở dạng $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.32.1

Viết lại $i^{4}$ ở dạng ${(i^{2})}^{2}$ .

$625 + 2500 i - 3750 - 2500 i + 625 {(i^{2})}^{2}$

Bước 4.1.32.2

Viết lại $i^{2}$ ở dạng $- 1$ .

$625 + 2500 i - 3750 - 2500 i + 625 {(- 1)}^{2}$

Bước 4.1.32.3

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$625 + 2500 i - 3750 - 2500 i + 625 \cdot 1$

Bước 4.1.33

Nhân $625$ với $1$ .

$625 + 2500 i - 3750 - 2500 i + 625$

Bước 4.2

Rút gọn bằng cách cộng các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Trừ $3750$ khỏi $625$ .

$- 3125 + 2500 i - 2500 i + 625$

Bước 4.2.2

Cộng $- 3125$ và $625$ .

$- 2500 + 2500 i - 2500 i$

Bước 4.2.3

Trừ $2500 i$ khỏi $2500 i$ .

$- 2500 + 0$

Bước 4.2.4

Cộng $- 2500$ và $0$ .

$- 2500$