Đại số Ví dụ

$\sqrt{x^{2} - x + 1}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x^{2} - x + 1}$ ở dạng ${(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ và $g (x) = x^{2} - x + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{2} - x + 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 1]$

Bước 1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 1]$

Bước 1.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2} - x + 1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 1]$

Bước 1.3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 1]$

Bước 1.4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 1]$

Bước 1.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{2} {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 1]$

Bước 1.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 1]$

Bước 1.6.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 1]$

Bước 1.7

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.7.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{2} {(x^{2} - x + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 1]$

Bước 1.7.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và ${(x^{2} - x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} - x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 1]$

Bước 1.7.3

Di chuyển ${(x^{2} - x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 1]$

Bước 1.8

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} - x + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 1.9

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 1.10

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 1.11

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 1.12

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 1.13

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 1 + 0)$

Bước 1.14

Cộng $2 x - 1$ và $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 1)$

Bước 1.15

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.15.1

Sắp xếp lại các thừa số của $\frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 1)$ .

$(2 x - 1) \frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 1.15.2

Nhân $2 x - 1$ với $\frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 x - 1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{2 x - 1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{2 x - 1}{{(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{2 x - 1}{{(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}})$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = 2 x - 1$ và $g (x) = {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (2 x - 1) - (2 x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{({(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 2.3

Nhân các số mũ trong ${({(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (2 x - 1) - (2 x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 2.3.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (2 x - 1) - (2 x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 2.3.2.2

Viết lại biểu thức.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (2 x - 1) - (2 x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - x + 1}$

Bước 2.4

Rút gọn.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (2 x - 1) - (2 x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - x + 1}$

Bước 2.5

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 x - 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 1)) - (2 x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - x + 1}$

Bước 2.5.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1)) - (2 x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - x + 1}$

Bước 2.5.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 1)) - (2 x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - x + 1}$

Bước 2.5.4

Nhân $2$ với $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 + \frac{d}{d x} (- 1)) - (2 x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - x + 1}$

Bước 2.5.5

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 + 0) - (2 x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - x + 1}$

Bước 2.5.6

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.6.1

Cộng $2$ và $0$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 - (2 x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - x + 1}$

Bước 2.5.6.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của ${(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - x + 1}$

Bước 2.6

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{2} - x + 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 1) (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2} - x + 1))}{x^{2} - x + 1}$

Bước 2.6.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 1) (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - x + 1))}{x^{2} - x + 1}$

Bước 2.6.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2} - x + 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 1) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - x + 1))}{x^{2} - x + 1}$

Bước 2.7

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 1) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - x + 1))}{x^{2} - x + 1}$

Bước 2.8

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 1) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - x + 1))}{x^{2} - x + 1}$

Bước 2.9

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 1) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - x + 1))}{x^{2} - x + 1}$

Bước 2.10

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.10.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 1) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - x + 1))}{x^{2} - x + 1}$

Bước 2.10.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 1) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - x + 1))}{x^{2} - x + 1}$

Bước 2.11

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.11.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 1) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - x + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - x + 1))}{x^{2} - x + 1}$

Bước 2.11.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và ${(x^{2} - x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 1) (\frac{{(x^{2} - x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - x + 1))}{x^{2} - x + 1}$

Bước 2.11.3

Di chuyển ${(x^{2} - x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 1) (\frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - x + 1))}{x^{2} - x + 1}$

Bước 2.12

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} - x + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 1) (\frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x) + \frac{d}{d x} (1)))}{x^{2} - x + 1}$

Bước 2.13

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 1) (\frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (- x) + \frac{d}{d x} (1)))}{x^{2} - x + 1}$

Bước 2.14

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 1) (\frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x - \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (1)))}{x^{2} - x + 1}$

Bước 2.15

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 1) (\frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1)))}{x^{2} - x + 1}$

Bước 2.16

Nhân $- 1$ với $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 1) (\frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x - 1 + \frac{d}{d x} (1)))}{x^{2} - x + 1}$

Bước 2.17

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 1) (\frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x - 1 + 0))}{x^{2} - x + 1}$

Bước 2.18

Cộng $2 x - 1$ và $0$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 1) (\frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x - 1))}{x^{2} - x + 1}$

Bước 2.19

Nâng $2 x - 1$ lên lũy thừa $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 1) (2 x - 1) \frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - x + 1}$

Bước 2.20

Nâng $2 x - 1$ lên lũy thừa $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 1) (2 x - 1) \frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - x + 1}$

Bước 2.21

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} - {(2 x - 1)}^{1 + 1} \frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - x + 1}$

Bước 2.22

Cộng $1$ và $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} - {(2 x - 1)}^{2} \frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - x + 1}$

Bước 2.23

Kết hợp $\frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ và ${(2 x - 1)}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{{(2 x - 1)}^{2}}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - x + 1}$

Bước 2.24

Để viết $2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{{(2 x - 1)}^{2}}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - x + 1}$

Bước 2.25

Kết hợp $2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ và $\frac{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{{(2 x - 1)}^{2}}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - x + 1}$

Bước 2.26

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}) - {(2 x - 1)}^{2}}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - x + 1}$

Bước 2.27

Nhân $2$ với $2$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{4 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} - {(2 x - 1)}^{2}}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - x + 1}$

Bước 2.28

Nhân ${(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ với ${(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.28.1

Di chuyển ${(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{4 ({(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}) - {(2 x - 1)}^{2}}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - x + 1}$

Bước 2.28.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{4 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - {(2 x - 1)}^{2}}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - x + 1}$

Bước 2.28.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{4 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}} - {(2 x - 1)}^{2}}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - x + 1}$

Bước 2.28.4

Cộng $1$ và $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{4 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{2}{2}} - {(2 x - 1)}^{2}}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - x + 1}$

Bước 2.28.5

Chia $2$ cho $2$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{4 (x^{2} - x + 1) - {(2 x - 1)}^{2}}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - x + 1}$

Bước 2.29

Rút gọn $4 {(x^{2} - x + 1)}^{1}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{4 (x^{2} - x + 1) - {(2 x - 1)}^{2}}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - x + 1}$

Bước 2.30

Viết lại $\frac{\frac{4 (x^{2} - x + 1) - {(2 x - 1)}^{2}}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - x + 1}$ ở dạng một tích.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (\frac{4 (x^{2} - x + 1) - {(2 x - 1)}^{2}}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x^{2} - x + 1})$

Bước 2.31

Nhân $\frac{4 (x^{2} - x + 1) - {(2 x - 1)}^{2}}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ với $\frac{1}{x^{2} - x + 1}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{4 (x^{2} - x + 1) - {(2 x - 1)}^{2}}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} - x + 1)}$

Bước 2.32

Nâng $x^{2} - x + 1$ lên lũy thừa $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{4 (x^{2} - x + 1) - {(2 x - 1)}^{2}}{2 ((x^{2} - x + 1) {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}})}$

Bước 2.33

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{4 (x^{2} - x + 1) - {(2 x - 1)}^{2}}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{1 + \frac{1}{2}}}$

Bước 2.34

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.34.1

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{4 (x^{2} - x + 1) - {(2 x - 1)}^{2}}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Bước 2.34.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{4 (x^{2} - x + 1) - {(2 x - 1)}^{2}}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Bước 2.34.3

Cộng $2$ và $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{4 (x^{2} - x + 1) - {(2 x - 1)}^{2}}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 2.35

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{4 (x^{2} - x + 1) - {(2 x - 1)}^{2}}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 (x^{2} - x + 1) - {(2 x - 1)}^{2}}{2 (2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{3}{2}})}$

Bước 2.36

Nhân $2$ với $2$ .

$f'' (x) = \frac{4 (x^{2} - x + 1) - {(2 x - 1)}^{2}}{4 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 2.37

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.37.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} + 4 (- x) + 4 \cdot 1 - {(2 x - 1)}^{2}}{4 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 2.37.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.37.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.37.2.1.1

Nhân $- 1$ với $4$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 4 x + 4 \cdot 1 - {(2 x - 1)}^{2}}{4 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 2.37.2.1.2

Nhân $4$ với $1$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 4 x + 4 - {(2 x - 1)}^{2}}{4 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 2.37.2.1.3

Viết lại ${(2 x - 1)}^{2}$ ở dạng $(2 x - 1) (2 x - 1)$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 4 x + 4 - ((2 x - 1) (2 x - 1))}{4 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 2.37.2.1.4

Khai triển $(2 x - 1) (2 x - 1)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.37.2.1.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 4 x + 4 - (2 x (2 x - 1) - 1 (2 x - 1))}{4 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 2.37.2.1.4.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 4 x + 4 - (2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x - 1))}{4 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 2.37.2.1.4.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 4 x + 4 - (2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1)}{4 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 2.37.2.1.5

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.37.2.1.5.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.37.2.1.5.1.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 4 x + 4 - (2 \cdot (2 x \cdot x) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1)}{4 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 2.37.2.1.5.1.2

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.37.2.1.5.1.2.1

Di chuyển $x$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 4 x + 4 - (2 \cdot (2 (x \cdot x)) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1)}{4 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 2.37.2.1.5.1.2.2

Nhân $x$ với $x$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 4 x + 4 - (2 \cdot (2 x^{2}) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1)}{4 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 2.37.2.1.5.1.3

Nhân $2$ với $2$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 4 x + 4 - (4 x^{2} + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1)}{4 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 2.37.2.1.5.1.4

Nhân $- 1$ với $2$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 4 x + 4 - (4 x^{2} - 2 x - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1)}{4 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 2.37.2.1.5.1.5

Nhân $2$ với $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 4 x + 4 - (4 x^{2} - 2 x - 2 x - 1 \cdot - 1)}{4 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 2.37.2.1.5.1.6

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 4 x + 4 - (4 x^{2} - 2 x - 2 x + 1)}{4 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 2.37.2.1.5.2

Trừ $2 x$ khỏi $- 2 x$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 4 x + 4 - (4 x^{2} - 4 x + 1)}{4 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 2.37.2.1.6

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 4 x + 4 - (4 x^{2}) - (- 4 x) - 1 \cdot 1}{4 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 2.37.2.1.7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.37.2.1.7.1

Nhân $4$ với $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 4 x + 4 - 4 x^{2} - (- 4 x) - 1 \cdot 1}{4 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 2.37.2.1.7.2

Nhân $- 4$ với $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 4 x + 4 - 4 x^{2} + 4 x - 1 \cdot 1}{4 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 2.37.2.1.7.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 4 x + 4 - 4 x^{2} + 4 x - 1}{4 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 2.37.2.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $4 x^{2} - 4 x + 4 - 4 x^{2} + 4 x - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.37.2.2.1

Trừ $4 x^{2}$ khỏi $4 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x + 4 + 0 + 4 x - 1}{4 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 2.37.2.2.2

Cộng $- 4 x + 4$ và $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x + 4 + 4 x - 1}{4 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 2.37.2.2.3

Cộng $- 4 x$ và $4 x$ .

$f'' (x) = \frac{0 + 4 - 1}{4 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 2.37.2.2.4

Cộng $0$ và $4$ .

$f'' (x) = \frac{4 - 1}{4 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 2.37.2.3

Trừ $1$ khỏi $4$ .

$f'' (x) = \frac{3}{4 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 3

Để tìm các giá trị cực đại địa phương và cực tiểu địa phương của hàm số, đặt đạo hàm bằng $0$ và giải.

$\frac{2 x - 1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Bước 4

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x^{2} - x + 1}$ ở dạng ${(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 4.1.2

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{2} - x + 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 1]$

Bước 4.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 1]$

Bước 4.1.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2} - x + 1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 1]$

Bước 4.1.3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 1]$

Bước 4.1.4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 1]$

Bước 4.1.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{2} {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 1]$

Bước 4.1.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.6.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 1]$

Bước 4.1.6.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 1]$

Bước 4.1.7

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.7.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{2} {(x^{2} - x + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 1]$

Bước 4.1.7.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và ${(x^{2} - x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} - x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 1]$

Bước 4.1.7.3

Di chuyển ${(x^{2} - x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 1]$

Bước 4.1.8

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} - x + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 4.1.9

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 4.1.10

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 4.1.11

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 4.1.12

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 4.1.13

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 1 + 0)$

Bước 4.1.14

Cộng $2 x - 1$ và $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 1)$

Bước 4.1.15

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.15.1

Sắp xếp lại các thừa số của $\frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 1)$ .

$(2 x - 1) \frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 4.1.15.2

Nhân $2 x - 1$ với $\frac{1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{2 x - 1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 4.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $\frac{2 x - 1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 x - 1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 5

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $\frac{2 x - 1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$\frac{2 x - 1}{2 {(x^{2} - x + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Bước 5.2

Cho tử bằng không.

$2 x - 1 = 0$

Bước 5.3

Giải phương trình để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$2 x = 1$

Bước 5.3.2

Chia mỗi số hạng trong $2 x = 1$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Chia mỗi số hạng trong $2 x = 1$ cho $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Bước 5.3.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Bước 5.3.2.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Bước 6

Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Tập xác định của biểu thức là tất cả các số thực trừ trường hợp biểu thức không xác định. Trong trường hợp này, không có số thực nào làm cho biểu thức không xác định.

Bước 7

Các điểm cực trị cần tính.

$x = \frac{1}{2}$

Bước 8

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = \frac{1}{2}$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$\frac{3}{4 {({(\frac{1}{2})}^{2} - (\frac{1}{2}) + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 9

Tính đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Tìm mẫu số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1.1

Viết ${(\frac{1}{2})}^{2}$ ở dạng một phân số với mẫu số $1$ .

$\frac{3}{4 {(\frac{{(\frac{1}{2})}^{2}}{1} - \frac{1}{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 9.1.1.2

Nhân $\frac{{(\frac{1}{2})}^{2}}{1}$ với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{4 {(\frac{{(\frac{1}{2})}^{2}}{1} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 9.1.1.3

Nhân $\frac{{(\frac{1}{2})}^{2}}{1}$ với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{4 {(\frac{{(\frac{1}{2})}^{2} \cdot 2}{2} - \frac{1}{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 9.1.1.4

Viết $1$ ở dạng một phân số với mẫu số $1$ .

$\frac{3}{4 {(\frac{{(\frac{1}{2})}^{2} \cdot 2}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{1})}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 9.1.1.5

Nhân $\frac{1}{1}$ với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{4 {(\frac{{(\frac{1}{2})}^{2} \cdot 2}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{1} \cdot \frac{2}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 9.1.1.6

Nhân $\frac{1}{1}$ với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{4 {(\frac{{(\frac{1}{2})}^{2} \cdot 2}{2} - \frac{1}{2} + \frac{2}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 9.1.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{3}{4 {(\frac{{(\frac{1}{2})}^{2} \cdot 2 - 1 + 2}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 9.1.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.3.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{4 {(\frac{\frac{1^{2}}{2^{2}} \cdot 2 - 1 + 2}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 9.1.3.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{3}{4 {(\frac{\frac{1}{2^{2}} \cdot 2 - 1 + 2}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 9.1.3.3

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{3}{4 {(\frac{\frac{1}{4} \cdot 2 - 1 + 2}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 9.1.3.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.3.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$\frac{3}{4 {(\frac{\frac{1}{2 (2)} \cdot 2 - 1 + 2}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 9.1.3.4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3}{4 {(\frac{\frac{1}{2 \cdot 2} \cdot 2 - 1 + 2}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 9.1.3.4.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{3}{4 {(\frac{\frac{1}{2} - 1 + 2}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 9.1.4

Tìm mẫu số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.4.1

Viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số $1$ .

$\frac{3}{4 {(\frac{\frac{1}{2} + \frac{- 1}{1} + 2}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 9.1.4.2

Nhân $\frac{- 1}{1}$ với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{4 {(\frac{\frac{1}{2} + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{2}{2} + 2}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 9.1.4.3

Nhân $\frac{- 1}{1}$ với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{4 {(\frac{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2} + 2}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 9.1.4.4

Viết $2$ ở dạng một phân số với mẫu số $1$ .

$\frac{3}{4 {(\frac{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{2}{1}}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 9.1.4.5

Nhân $\frac{2}{1}$ với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{4 {(\frac{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{2}}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 9.1.4.6

Nhân $\frac{2}{1}$ với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{4 {(\frac{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 9.1.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{3}{4 {(\frac{\frac{1 - 1 \cdot 2 + 2 \cdot 2}{2}}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 9.1.6

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.6.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{3}{4 {(\frac{\frac{1 - 2 + 2 \cdot 2}{2}}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 9.1.6.2

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{3}{4 {(\frac{\frac{1 - 2 + 4}{2}}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 9.1.7

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$\frac{3}{4 {(\frac{\frac{- 1 + 4}{2}}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 9.1.8

Cộng $- 1$ và $4$ .

$\frac{3}{4 {(\frac{\frac{3}{2}}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 9.1.9

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$\frac{3}{4 {(\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 9.1.10

Nhân $\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.10.1

Nhân $\frac{3}{2}$ với $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{4 {(\frac{3}{2 \cdot 2})}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 9.1.10.2

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{3}{4 {(\frac{3}{4})}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 9.1.11

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{3}{4}$ .

$\frac{3}{4 \frac{3^{\frac{3}{2}}}{4^{\frac{3}{2}}}}$

Bước 9.1.12

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.12.1

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$\frac{3}{4 \frac{3^{\frac{3}{2}}}{{(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}}$

Bước 9.1.12.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{4 \frac{3^{\frac{3}{2}}}{2^{2 (\frac{3}{2})}}}$

Bước 9.1.12.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.12.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3}{4 \frac{3^{\frac{3}{2}}}{2^{2 (\frac{3}{2})}}}$

Bước 9.1.12.3.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{3}{4 \frac{3^{\frac{3}{2}}}{2^{3}}}$

Bước 9.1.12.4

Nâng $2$ lên lũy thừa $3$ .

$\frac{3}{4 \frac{3^{\frac{3}{2}}}{8}}$

Bước 9.2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Kết hợp $4$ và $\frac{3^{\frac{3}{2}}}{8}$ .

$\frac{3}{\frac{4 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{8}}$

Bước 9.2.2

Rút gọn biểu thức $\frac{4 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{8}$ bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $4 \cdot 3^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{3}{\frac{4 (3^{\frac{3}{2}})}{8}}$

Bước 9.2.2.2

Đưa $4$ ra ngoài $8$ .

$\frac{3}{\frac{4 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{4 \cdot 2}}$

Bước 9.2.2.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3}{\frac{4 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{4 \cdot 2}}$

Bước 9.2.2.4

Viết lại biểu thức.

$\frac{3}{\frac{3^{\frac{3}{2}}}{2}}$

Bước 9.3

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$3 \frac{2}{3^{\frac{3}{2}}}$

Bước 9.4

Nhân $3 \frac{2}{3^{\frac{3}{2}}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.4.1

Kết hợp $3$ và $\frac{2}{3^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3^{\frac{3}{2}}}$

Bước 9.4.2

Nhân $3$ với $2$ .

$\frac{6}{3^{\frac{3}{2}}}$

Bước 10

$x = \frac{1}{2}$ là một cực tiểu địa phương vì giá trị của đạo hàm bậc hai dương. Đây được gọi là phép kiểm định đạo hàm bậc hai.

$x = \frac{1}{2}$ là cực tiểu địa phương

Bước 11

Tìm giá trị y khi $x = \frac{1}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Thay thế biến $x$ bằng $\frac{1}{2}$ trong biểu thức.

$f (\frac{1}{2}) = \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} - (\frac{1}{2}) + 1}$

Bước 11.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \sqrt{\frac{1^{2}}{2^{2}} - (\frac{1}{2}) + 1}$

Bước 11.2.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$f (\frac{1}{2}) = \sqrt{\frac{1}{2^{2}} - (\frac{1}{2}) + 1}$

Bước 11.2.3

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = \sqrt{\frac{1}{4} - (\frac{1}{2}) + 1}$

Bước 11.2.4

Để viết $- \frac{1}{2}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \sqrt{\frac{1}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2} + 1}$

Bước 11.2.5

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $4$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.5.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \sqrt{\frac{1}{4} - \frac{2}{2 \cdot 2} + 1}$

Bước 11.2.5.2

Nhân $2$ với $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = \sqrt{\frac{1}{4} - \frac{2}{4} + 1}$

Bước 11.2.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (\frac{1}{2}) = \sqrt{\frac{1 - 2}{4} + 1}$

Bước 11.2.7

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$f (\frac{1}{2}) = \sqrt{\frac{- 1}{4} + 1}$

Bước 11.2.8

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$f (\frac{1}{2}) = \sqrt{\frac{- 1}{4} + \frac{4}{4}}$

Bước 11.2.9

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (\frac{1}{2}) = \sqrt{\frac{- 1 + 4}{4}}$

Bước 11.2.10

Cộng $- 1$ và $4$ .

$f (\frac{1}{2}) = \sqrt{\frac{3}{4}}$

Bước 11.2.11

Viết lại $\sqrt{\frac{3}{4}}$ ở dạng $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$

Bước 11.2.12

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.12.1

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2^{2}}}$

Bước 11.2.12.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Bước 11.2.13

Câu trả lời cuối cùng là $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$y = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Bước 12

Đây là những cực trị địa phương cho $f (x) = \sqrt{x^{2} - x + 1}$ .

$(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ là một cực tiểu địa phương

Bước 13