Đại số Ví dụ

$y = \cos^{2} (x)$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (\cos^{2} (x))$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ là $f' (g (y)) g' (y)$ trong đó $f (y) = y^{2}$ và $g (y) = \cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d y} [\cos (x)]$

Bước 3.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d y} [\cos (x)]$

Bước 3.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $\cos (x)$ .

$2 \cos (x) \frac{d}{d y} [\cos (x)]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ là $f' (g (y)) g' (y)$ trong đó $f (y) = \cos (y)$ và $g (y) = x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $x$ .

$2 \cos (x) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d y} [x])$

Bước 3.2.2

Đạo hàm của $\cos (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $- \sin (u_{2})$ .

$2 \cos (x) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d y} [x])$

Bước 3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $x$ .

$2 \cos (x) (- \sin (x) \frac{d}{d y} [x])$

Bước 3.3

Nhân $- 1$ với $2$ .

$- 2 \cos (x) (\sin (x) \frac{d}{d y} [x])$

Bước 3.4

Viết lại $\frac{d}{d y} [x]$ ở dạng $x'$ .

$- 2 \cos (x) \sin (x) x'$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$1 = - 2 \cos (x) \sin (x) x'$

Bước 5

Giải tìm $x'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Viết lại phương trình ở dạng $- 2 \cos (x) \sin (x) x' = 1$ .

$- 2 \cos (x) \sin (x) x' = 1$

Bước 5.2

Chia mỗi số hạng trong $- 2 \cos (x) \sin (x) x' = 1$ cho $- 2 \cos (x) \sin (x)$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Chia mỗi số hạng trong $- 2 \cos (x) \sin (x) x' = 1$ cho $- 2 \cos (x) \sin (x)$ .

$\frac{- 2 \cos (x) \sin (x) x'}{- 2 \cos (x) \sin (x)} = \frac{1}{- 2 \cos (x) \sin (x)}$

Bước 5.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $- 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- 2 \cos (x) \sin (x) x'}{- 2 \cos (x) \sin (x)} = \frac{1}{- 2 \cos (x) \sin (x)}$

Bước 5.2.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{\cos (x) \sin (x) x'}{\cos (x) \sin (x)} = \frac{1}{- 2 \cos (x) \sin (x)}$

Bước 5.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $\cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\cos (x) \sin (x) x'}{\cos (x) \sin (x)} = \frac{1}{- 2 \cos (x) \sin (x)}$

Bước 5.2.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{\sin (x) x'}{\sin (x)} = \frac{1}{- 2 \cos (x) \sin (x)}$

Bước 5.2.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $\sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\sin (x) x'}{\sin (x)} = \frac{1}{- 2 \cos (x) \sin (x)}$

Bước 5.2.2.3.2

Chia $x'$ cho $1$ .

$x' = \frac{1}{- 2 \cos (x) \sin (x)}$

Bước 5.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1

Tách các phân số.

$x' = \frac{1}{- 2 \sin (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Bước 5.2.3.2

Quy đổi từ $\frac{1}{\cos (x)}$ sang $\sec (x)$ .

$x' = \frac{1}{- 2 \sin (x)} \sec (x)$

Bước 5.2.3.3

Tách các phân số.

$x' = \frac{1}{- 2} \cdot \frac{1}{\sin (x)} \sec (x)$

Bước 5.2.3.4

Quy đổi từ $\frac{1}{\sin (x)}$ sang $\csc (x)$ .

$x' = \frac{1}{- 2} \csc (x) \sec (x)$

Bước 5.2.3.5

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.5.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$x' = - \frac{1}{2} \csc (x) \sec (x)$

Bước 5.2.3.5.2

Thêm các dấu ngoặc đơn.

$x' = - \frac{1}{2} (\csc (x) \sec (x))$

Bước 5.2.3.5.3

Thêm các dấu ngoặc đơn.

$x' = - (\frac{1}{2} (\csc (x) \sec (x)))$

Bước 5.2.3.6

Kết hợp thành $c s c (2 x)$ .

$x' = - \csc (2 x)$

Bước 6

Thay thế $x'$ bằng $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \csc (2 x)$