Đại số Ví dụ

$f (x) = x^{9} e^{x}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x^{9}$ và $g (x) = e^{x}$ .

$x^{9} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{9}]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$x^{9} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{9}]$

Bước 1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 9$ .

$x^{9} e^{x} + e^{x} (9 x^{8})$

Bước 1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$e^{x} x^{9} + 9 e^{x} x^{8}$

Bước 1.4.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $e^{x} x^{9} + 9 e^{x} x^{8}$ .

$f' (x) = x^{9} e^{x} + 9 x^{8} e^{x}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{9} e^{x} + 9 x^{8} e^{x}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{9} e^{x}] + \frac{d}{d x} [9 x^{8} e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{9} e^{x}] + \frac{d}{d x} [9 x^{8} e^{x}]$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [x^{9} e^{x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

$x^{9} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{9}] + \frac{d}{d x} [9 x^{8} e^{x}]$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$x^{9} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{9}] + \frac{d}{d x} [9 x^{8} e^{x}]$

Bước 2.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 9$ .

$x^{9} e^{x} + e^{x} (9 x^{8}) + \frac{d}{d x} [9 x^{8} e^{x}]$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [9 x^{8} e^{x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $9$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $9 x^{8} e^{x}$ đối với $x$ là $9 \frac{d}{d x} [x^{8} e^{x}]$ .

$x^{9} e^{x} + e^{x} (9 x^{8}) + 9 \frac{d}{d x} [x^{8} e^{x}]$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x^{8}$ và $g (x) = e^{x}$ .

$x^{9} e^{x} + e^{x} (9 x^{8}) + 9 (x^{8} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{8}])$

Bước 2.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$x^{9} e^{x} + e^{x} (9 x^{8}) + 9 (x^{8} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{8}])$

Bước 2.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 8$ .

$x^{9} e^{x} + e^{x} (9 x^{8}) + 9 (x^{8} e^{x} + e^{x} (8 x^{7}))$

Bước 2.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x^{9} e^{x} + e^{x} (9 x^{8}) + 9 (x^{8} e^{x}) + 9 (e^{x} (8 x^{7}))$

Bước 2.4.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1

Nhân $8$ với $9$ .

$x^{9} e^{x} + e^{x} (9 x^{8}) + 9 x^{8} e^{x} + 72 (e^{x} (x^{7}))$

Bước 2.4.2.2

Cộng $e^{x} (9 x^{8})$ và $9 x^{8} e^{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.2.1

Di chuyển $e^{x}$ .

$x^{9} e^{x} + 9 x^{8} e^{x} + 9 x^{8} e^{x} + 72 e^{x} x^{7}$

Bước 2.4.2.2.2

Cộng $9 x^{8} e^{x}$ và $9 x^{8} e^{x}$ .

$x^{9} e^{x} + 18 x^{8} e^{x} + 72 e^{x} x^{7}$

Bước 2.4.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$e^{x} x^{9} + 18 e^{x} x^{8} + 72 e^{x} x^{7}$

Bước 2.4.4

Sắp xếp lại các thừa số trong $e^{x} x^{9} + 18 e^{x} x^{8} + 72 e^{x} x^{7}$ .

$f'' (x) = x^{9} e^{x} + 18 x^{8} e^{x} + 72 x^{7} e^{x}$

Bước 3

Đạo hàm bậc hai của $f (x)$ đối với $x$ là $x^{9} e^{x} + 18 x^{8} e^{x} + 72 x^{7} e^{x}$ .

$x^{9} e^{x} + 18 x^{8} e^{x} + 72 x^{7} e^{x}$