Đại số Ví dụ

$\ln (x + 2 y) = x^{4}$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (\ln (x + 2 y)) = \frac{d}{d x} (x^{4})$

Bước 2

Tính đạo hàm vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = x + 2 y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x + 2 y$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x + 2 y]$

Bước 2.1.2

Đạo hàm của $\ln (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x + 2 y]$

Bước 2.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x + 2 y$ .

$\frac{1}{x + 2 y} \frac{d}{d x} [x + 2 y]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 2 y$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y]$ .

$\frac{1}{x + 2 y} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y])$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{x + 2 y} (1 + \frac{d}{d x} [2 y])$

Bước 2.2.3

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 y$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{1}{x + 2 y} (1 + 2 \frac{d}{d x} [y])$

Bước 2.3

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$\frac{1}{x + 2 y} (1 + 2 y')$

Bước 2.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Sắp xếp lại các thừa số của $\frac{1}{x + 2 y} (1 + 2 y')$ .

$(1 + 2 y') \frac{1}{x + 2 y}$

Bước 2.4.2

Nhân $1 + 2 y'$ với $\frac{1}{x + 2 y}$ .

$\frac{1 + 2 y'}{x + 2 y}$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$4 x^{3}$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$\frac{1 + 2 y'}{x + 2 y} = 4 x^{3}$

Bước 5

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Nhân cả hai vế với $x + 2 y$ .

$\frac{1 + 2 y'}{x + 2 y} (x + 2 y) = 4 x^{3} (x + 2 y)$

Bước 5.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1

Rút gọn $\frac{1 + 2 y'}{x + 2 y} (x + 2 y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $x + 2 y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1 + 2 y'}{x + 2 y} (x + 2 y) = 4 x^{3} (x + 2 y)$

Bước 5.2.1.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$1 + 2 y' = 4 x^{3} (x + 2 y)$

Bước 5.2.1.1.2

Sắp xếp lại $1$ và $2 y'$ .

$2 y' + 1 = 4 x^{3} (x + 2 y)$

Bước 5.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Rút gọn $4 x^{3} (x + 2 y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 y' + 1 = 4 x^{3} x + 4 x^{3} (2 y)$

Bước 5.2.2.1.2

Nhân $x^{3}$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1.2.1

Di chuyển $x$ .

$2 y' + 1 = 4 (x \cdot x^{3}) + 4 x^{3} (2 y)$

Bước 5.2.2.1.2.2

Nhân $x$ với $x^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1.2.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$2 y' + 1 = 4 (x^{1} x^{3}) + 4 x^{3} (2 y)$

Bước 5.2.2.1.2.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$2 y' + 1 = 4 x^{1 + 3} + 4 x^{3} (2 y)$

Bước 5.2.2.1.2.3

Cộng $1$ và $3$ .

$2 y' + 1 = 4 x^{4} + 4 x^{3} (2 y)$

Bước 5.2.2.1.3

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$2 y' + 1 = 4 x^{4} + 4 \cdot 2 x^{3} y$

Bước 5.2.2.1.4

Nhân $4$ với $2$ .

$2 y' + 1 = 4 x^{4} + 8 x^{3} y$

Bước 5.2.2.1.5

Sắp xếp lại $4 x^{4}$ và $8 x^{3} y$ .

$2 y' + 1 = 8 x^{3} y + 4 x^{4}$

Bước 5.3

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$2 y' = 8 x^{3} y + 4 x^{4} - 1$

Bước 5.3.2

Chia mỗi số hạng trong $2 y' = 8 x^{3} y + 4 x^{4} - 1$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Chia mỗi số hạng trong $2 y' = 8 x^{3} y + 4 x^{4} - 1$ cho $2$ .

$\frac{2 y'}{2} = \frac{8 x^{3} y}{2} + \frac{4 x^{4}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Bước 5.3.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 y'}{2} = \frac{8 x^{3} y}{2} + \frac{4 x^{4}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Bước 5.3.2.2.1.2

Chia $y'$ cho $1$ .

$y' = \frac{8 x^{3} y}{2} + \frac{4 x^{4}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Bước 5.3.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung của $8$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.3.1.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $8 x^{3} y$ .

$y' = \frac{2 (4 x^{3} y)}{2} + \frac{4 x^{4}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Bước 5.3.2.3.1.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.3.1.1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$y' = \frac{2 (4 x^{3} y)}{2 (1)} + \frac{4 x^{4}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Bước 5.3.2.3.1.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y' = \frac{2 (4 x^{3} y)}{2 \cdot 1} + \frac{4 x^{4}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Bước 5.3.2.3.1.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$y' = \frac{4 x^{3} y}{1} + \frac{4 x^{4}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Bước 5.3.2.3.1.1.2.4

Chia $4 x^{3} y$ cho $1$ .

$y' = 4 x^{3} y + \frac{4 x^{4}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Bước 5.3.2.3.1.2

Triệt tiêu thừa số chung của $4$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.3.1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4 x^{4}$ .

$y' = 4 x^{3} y + \frac{2 (2 x^{4})}{2} + \frac{- 1}{2}$

Bước 5.3.2.3.1.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.3.1.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$y' = 4 x^{3} y + \frac{2 (2 x^{4})}{2 (1)} + \frac{- 1}{2}$

Bước 5.3.2.3.1.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y' = 4 x^{3} y + \frac{2 (2 x^{4})}{2 \cdot 1} + \frac{- 1}{2}$

Bước 5.3.2.3.1.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$y' = 4 x^{3} y + \frac{2 x^{4}}{1} + \frac{- 1}{2}$

Bước 5.3.2.3.1.2.2.4

Chia $2 x^{4}$ cho $1$ .

$y' = 4 x^{3} y + 2 x^{4} + \frac{- 1}{2}$

Bước 5.3.2.3.1.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y' = 4 x^{3} y + 2 x^{4} - \frac{1}{2}$

Bước 6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 4 x^{3} y + 2 x^{4} - \frac{1}{2}$