Đại số Ví dụ

$x y^{9} - y = x$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (x y^{9} - y) = \frac{d}{d x} (x)$

Bước 2

Tính đạo hàm vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x y^{9} - y$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x y^{9}] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{d}{d x} [x y^{9}] + \frac{d}{d x} [- y]$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [x y^{9}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = y^{9}$ .

$x \frac{d}{d x} [y^{9}] + y^{9} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{9}$ và $g (x) = y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $y$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{9}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{9} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Bước 2.2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 9$ .

$x (9 u^{8} \frac{d}{d x} [y]) + y^{9} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Bước 2.2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $y$ .

$x (9 y^{8} \frac{d}{d x} [y]) + y^{9} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Bước 2.2.3

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$x (9 y^{8} y') + y^{9} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Bước 2.2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$x (9 y^{8} y') + y^{9} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y]$

Bước 2.2.5

Di chuyển $9$ sang phía bên trái của $x$ .

$9 \cdot x y^{8} y' + y^{9} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y]$

Bước 2.2.6

Nhân $y^{9}$ với $1$ .

$9 x y^{8} y' + y^{9} + \frac{d}{d x} [- y]$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [- y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- y$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$9 x y^{8} y' + y^{9} - \frac{d}{d x} [y]$

Bước 2.3.2

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$9 x y^{8} y' + y^{9} - y'$

Bước 2.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$y^{9} + 9 y^{8} x y' - y'$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$y^{9} + 9 y^{8} x y' - y' = 1$

Bước 5

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Trừ $y^{9}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$9 y^{8} x y' - y' = 1 - y^{9}$

Bước 5.2

Đưa $y'$ ra ngoài $9 y^{8} x y' - y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Đưa $y'$ ra ngoài $9 y^{8} x y'$ .

$y' (9 y^{8} x) - y' = 1 - y^{9}$

Bước 5.2.2

Đưa $y'$ ra ngoài $- y'$ .

$y' (9 y^{8} x) + y' \cdot - 1 = 1 - y^{9}$

Bước 5.2.3

Đưa $y'$ ra ngoài $y' (9 y^{8} x) + y' \cdot - 1$ .

$y' (9 y^{8} x - 1) = 1 - y^{9}$

Bước 5.3

Chia mỗi số hạng trong $y' (9 y^{8} x - 1) = 1 - y^{9}$ cho $9 y^{8} x - 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Chia mỗi số hạng trong $y' (9 y^{8} x - 1) = 1 - y^{9}$ cho $9 y^{8} x - 1$ .

$\frac{y' (9 y^{8} x - 1)}{9 y^{8} x - 1} = \frac{1}{9 y^{8} x - 1} + \frac{- y^{9}}{9 y^{8} x - 1}$

Bước 5.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $9 y^{8} x - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y' (9 y^{8} x - 1)}{9 y^{8} x - 1} = \frac{1}{9 y^{8} x - 1} + \frac{- y^{9}}{9 y^{8} x - 1}$

Bước 5.3.2.1.2

Chia $y'$ cho $1$ .

$y' = \frac{1}{9 y^{8} x - 1} + \frac{- y^{9}}{9 y^{8} x - 1}$

Bước 5.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y' = \frac{1 - y^{9}}{9 y^{8} x - 1}$

Bước 5.3.3.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.2.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{3}$ .

$y' = \frac{1^{3} - y^{9}}{9 y^{8} x - 1}$

Bước 5.3.3.2.2

Viết lại $y^{9}$ ở dạng ${(y^{3})}^{3}$ .

$y' = \frac{1^{3} - {(y^{3})}^{3}}{9 y^{8} x - 1}$

Bước 5.3.3.2.3

Vì cả hai số hạng đều là các số lập phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai lập phương, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ trong đó $a = 1$ và $b = y^{3}$ .

$y' = \frac{(1 - y^{3}) (1^{2} + 1 y^{3} + {(y^{3})}^{2})}{9 y^{8} x - 1}$

Bước 5.3.3.2.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.2.4.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{3}$ .

$y' = \frac{(1^{3} - y^{3}) (1^{2} + 1 y^{3} + {(y^{3})}^{2})}{9 y^{8} x - 1}$

Bước 5.3.3.2.4.2

Vì cả hai số hạng đều là các số lập phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai lập phương, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ trong đó $a = 1$ và $b = y$ .

$y' = \frac{(1 - y) (1^{2} + 1 y + y^{2}) (1^{2} + 1 y^{3} + {(y^{3})}^{2})}{9 y^{8} x - 1}$

Bước 5.3.3.2.4.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.2.4.3.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$y' = \frac{(1 - y) (1 + 1 y + y^{2}) (1^{2} + 1 y^{3} + {(y^{3})}^{2})}{9 y^{8} x - 1}$

Bước 5.3.3.2.4.3.2

Nhân $y$ với $1$ .

$y' = \frac{(1 - y) (1 + y + y^{2}) (1^{2} + 1 y^{3} + {(y^{3})}^{2})}{9 y^{8} x - 1}$

Bước 5.3.3.2.4.4

Nhân $y^{3}$ với $1$ .

$y' = \frac{(1 - y) (1 + y + y^{2}) (1^{2} + y^{3} + {(y^{3})}^{2})}{9 y^{8} x - 1}$

Bước 5.3.3.2.5

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.2.5.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$y' = \frac{(1 - y) (1 + y + y^{2}) (1 + y^{3} + {(y^{3})}^{2})}{9 y^{8} x - 1}$

Bước 5.3.3.2.5.2

Nhân các số mũ trong ${(y^{3})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.2.5.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y' = \frac{(1 - y) (1 + y + y^{2}) (1 + y^{3} + y^{3 \cdot 2})}{9 y^{8} x - 1}$

Bước 5.3.3.2.5.2.2

Nhân $3$ với $2$ .

$y' = \frac{(1 - y) (1 + y + y^{2}) (1 + y^{3} + y^{6})}{9 y^{8} x - 1}$

Bước 6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{(1 - y) (1 + y + y^{2}) (1 + y^{3} + y^{6})}{9 y^{8} x - 1}$