Đại số Ví dụ

$x^{6} e^{x}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x^{6}$ và $g (x) = e^{x}$ .

$x^{6} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{6}]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$x^{6} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{6}]$

Bước 1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 6$ .

$x^{6} e^{x} + e^{x} (6 x^{5})$

Bước 1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$e^{x} x^{6} + 6 e^{x} x^{5}$

Bước 1.4.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $e^{x} x^{6} + 6 e^{x} x^{5}$ .

$f' (x) = x^{6} e^{x} + 6 x^{5} e^{x}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{6} e^{x} + 6 x^{5} e^{x}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{6} e^{x}] + \frac{d}{d x} [6 x^{5} e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{6} e^{x}] + \frac{d}{d x} [6 x^{5} e^{x}]$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [x^{6} e^{x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

$x^{6} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [6 x^{5} e^{x}]$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$x^{6} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [6 x^{5} e^{x}]$

Bước 2.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 6$ .

$x^{6} e^{x} + e^{x} (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [6 x^{5} e^{x}]$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [6 x^{5} e^{x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $6$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $6 x^{5} e^{x}$ đối với $x$ là $6 \frac{d}{d x} [x^{5} e^{x}]$ .

$x^{6} e^{x} + e^{x} (6 x^{5}) + 6 \frac{d}{d x} [x^{5} e^{x}]$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x^{5}$ và $g (x) = e^{x}$ .

$x^{6} e^{x} + e^{x} (6 x^{5}) + 6 (x^{5} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Bước 2.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$x^{6} e^{x} + e^{x} (6 x^{5}) + 6 (x^{5} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Bước 2.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 5$ .

$x^{6} e^{x} + e^{x} (6 x^{5}) + 6 (x^{5} e^{x} + e^{x} (5 x^{4}))$

Bước 2.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x^{6} e^{x} + e^{x} (6 x^{5}) + 6 (x^{5} e^{x}) + 6 (e^{x} (5 x^{4}))$

Bước 2.4.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1

Nhân $5$ với $6$ .

$x^{6} e^{x} + e^{x} (6 x^{5}) + 6 x^{5} e^{x} + 30 (e^{x} (x^{4}))$

Bước 2.4.2.2

Cộng $e^{x} (6 x^{5})$ và $6 x^{5} e^{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.2.1

Di chuyển $e^{x}$ .

$x^{6} e^{x} + 6 x^{5} e^{x} + 6 x^{5} e^{x} + 30 e^{x} x^{4}$

Bước 2.4.2.2.2

Cộng $6 x^{5} e^{x}$ và $6 x^{5} e^{x}$ .

$x^{6} e^{x} + 12 x^{5} e^{x} + 30 e^{x} x^{4}$

Bước 2.4.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$e^{x} x^{6} + 12 e^{x} x^{5} + 30 e^{x} x^{4}$

Bước 2.4.4

Sắp xếp lại các thừa số trong $e^{x} x^{6} + 12 e^{x} x^{5} + 30 e^{x} x^{4}$ .

$f'' (x) = x^{6} e^{x} + 12 x^{5} e^{x} + 30 x^{4} e^{x}$