Đại số Ví dụ

$x y^{6} - y = x$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d y} (x y^{6} - y) = \frac{d}{d y} (x)$

Bước 2

Tính đạo hàm vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x y^{6} - y$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [x y^{6}] + \frac{d}{d y} [- y]$ .

$\frac{d}{d y} [x y^{6}] + \frac{d}{d y} [- y]$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d y} [x y^{6}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ là $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ trong đó $f (y) = x$ và $g (y) = y^{6}$ .

$x \frac{d}{d y} [y^{6}] + y^{6} \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y]$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 6$ .

$x (6 y^{5}) + y^{6} \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y]$

Bước 2.2.3

Viết lại $\frac{d}{d y} [x]$ ở dạng $x'$ .

$x (6 y^{5}) + y^{6} x' + \frac{d}{d y} [- y]$

Bước 2.2.4

Di chuyển $6$ sang phía bên trái của $x$ .

$6 x y^{5} + y^{6} x' + \frac{d}{d y} [- y]$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d y} [- y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $- y$ đối với $y$ là $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$6 x y^{5} + y^{6} x' - \frac{d}{d y} [y]$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$6 x y^{5} + y^{6} x' - 1 \cdot 1$

Bước 2.3.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$6 x y^{5} + y^{6} x' - 1$

Bước 2.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$6 y^{5} x + y^{6} x' - 1$

Bước 3

Viết lại $\frac{d}{d y} [x]$ ở dạng $x'$ .

$x'$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$6 y^{5} x + y^{6} x' - 1 = x'$

Bước 5

Giải tìm $x'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Trừ $x'$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$6 y^{5} x + y^{6} x' - 1 - x' = 0$

Bước 5.2

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $x'$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Trừ $6 y^{5} x$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$y^{6} x' - 1 - x' = - 6 y^{5} x$

Bước 5.2.2

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$y^{6} x' - x' = - 6 y^{5} x + 1$

Bước 5.3

Đưa $x'$ ra ngoài $y^{6} x' - x'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Đưa $x'$ ra ngoài $y^{6} x'$ .

$x' y^{6} - x' = - 6 y^{5} x + 1$

Bước 5.3.2

Đưa $x'$ ra ngoài $- x'$ .

$x' y^{6} + x' \cdot - 1 = - 6 y^{5} x + 1$

Bước 5.3.3

Đưa $x'$ ra ngoài $x' y^{6} + x' \cdot - 1$ .

$x' (y^{6} - 1) = - 6 y^{5} x + 1$

Bước 5.4

Viết lại $y^{6}$ ở dạng ${(y^{2})}^{3}$ .

$x' ({(y^{2})}^{3} - 1) = - 6 y^{5} x + 1$

Bước 5.5

Viết lại $1$ ở dạng $1^{3}$ .

$x' ({(y^{2})}^{3} - 1^{3}) = - 6 y^{5} x + 1$

Bước 5.6

Vì cả hai số hạng đều là các số lập phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai lập phương, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ trong đó $a = y^{2}$ và $b = 1$ .

$x' ((y^{2} - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} \cdot 1 + 1^{2})) = - 6 y^{5} x + 1$

Bước 5.7

Phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.7.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.7.1.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$x' ((y^{2} - 1^{2}) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} \cdot 1 + 1^{2})) = - 6 y^{5} x + 1$

Bước 5.7.1.2

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = y$ và $b = 1$ .

$x' ((y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} \cdot 1 + 1^{2})) = - 6 y^{5} x + 1$

Bước 5.7.1.3

Nhân $y^{2}$ với $1$ .

$x' ((y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1^{2})) = - 6 y^{5} x + 1$

Bước 5.7.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$x' (y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1^{2}) = - 6 y^{5} x + 1$

Bước 5.8

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$x' (y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1) = - 6 y^{5} x + 1$

Bước 5.9

Chia mỗi số hạng trong $x' (y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1) = - 6 y^{5} x + 1$ cho $(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.9.1

Chia mỗi số hạng trong $x' (y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1) = - 6 y^{5} x + 1$ cho $(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)$ .

$\frac{x' (y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)} = \frac{- 6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)}$

Bước 5.9.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.9.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $y + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.9.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

Bước 5.9.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{x' (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)}{(y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)} = \frac{- 6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)}$

Bước 5.9.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $y - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.9.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

Bước 5.9.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{x' ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)}{{(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1} = \frac{- 6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)}$

Bước 5.9.2.3

Triệt tiêu thừa số chung ${(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.9.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x' ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)}{{(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1} = \frac{- 6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)}$

Bước 5.9.2.3.2

Chia $x'$ cho $1$ .

$x' = \frac{- 6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)}$

Bước 5.9.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.9.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.9.3.1.1

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.9.3.1.1.1

Nhân các số mũ trong ${(y^{2})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.9.3.1.1.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x' = \frac{- 6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) (y^{2 \cdot 2} + y^{2} + 1)} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)}$

Bước 5.9.3.1.1.1.2

Nhân $2$ với $2$ .

$x' = \frac{- 6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) (y^{4} + y^{2} + 1)} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)}$

Bước 5.9.3.1.1.2

Viết lại $y^{4} + y^{2} + 1$ ở dạng đã được phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.9.3.1.1.2.1

Viết lại số hạng ở giữa.

$x' = \frac{- 6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) (y^{4} + 2 y^{2} \cdot 1 - y^{2} + 1)} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)}$

Bước 5.9.3.1.1.2.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$x' = \frac{- 6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) (y^{4} + 2 y^{2} \cdot 1 + 1 - y^{2})} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)}$

Bước 5.9.3.1.1.2.3

Phân tích ba số hạng đầu tiên thành thừa số theo quy tắc số chính phương.

$x' = \frac{- 6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2} + 1)}^{2} - y^{2})} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)}$

Bước 5.9.3.1.1.2.4

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = y^{2} + 1$ và $b = y$ .

$x' = \frac{- 6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) ((y^{2} + 1 + y) (y^{2} + 1 - y))} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)}$

Bước 5.9.3.1.1.2.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.9.3.1.1.2.5.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$x' = \frac{- 6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) ((y^{2} + y + 1) (y^{2} + 1 - y))} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)}$

Bước 5.9.3.1.1.2.5.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$x' = \frac{- 6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) ((y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1))} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)}$

$x' = \frac{- 6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)}$

Bước 5.9.3.1.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$x' = - \frac{6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)}$

Bước 5.9.3.1.3

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.9.3.1.3.1

Nhân các số mũ trong ${(y^{2})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.9.3.1.3.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x' = - \frac{6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) (y^{2 \cdot 2} + y^{2} + 1)}$

Bước 5.9.3.1.3.1.2

Nhân $2$ với $2$ .

$x' = - \frac{6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) (y^{4} + y^{2} + 1)}$

Bước 5.9.3.1.3.2

Viết lại $y^{4} + y^{2} + 1$ ở dạng đã được phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.9.3.1.3.2.1

Viết lại số hạng ở giữa.

$x' = - \frac{6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) (y^{4} + 2 y^{2} \cdot 1 - y^{2} + 1)}$

Bước 5.9.3.1.3.2.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$x' = - \frac{6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) (y^{4} + 2 y^{2} \cdot 1 + 1 - y^{2})}$

Bước 5.9.3.1.3.2.3

Phân tích ba số hạng đầu tiên thành thừa số theo quy tắc số chính phương.

$x' = - \frac{6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2} + 1)}^{2} - y^{2})}$

Bước 5.9.3.1.3.2.4

$x' = - \frac{6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) ((y^{2} + 1 + y) (y^{2} + 1 - y))}$

Bước 5.9.3.1.3.2.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.9.3.1.3.2.5.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$x' = - \frac{6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) ((y^{2} + y + 1) (y^{2} + 1 - y))}$

Bước 5.9.3.1.3.2.5.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$x' = - \frac{6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) ((y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1))}$

$x' = - \frac{6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)}$

Bước 6

Thay thế $x'$ bằng $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)}$