Đại số Ví dụ

$y = {(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}$

Bước 1

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = {(\frac{5^{y}}{2})}^{\frac{1}{2}}$

Bước 2

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Viết lại phương trình ở dạng ${(\frac{5^{y}}{2})}^{\frac{1}{2}} = x$ .

${(\frac{5^{y}}{2})}^{\frac{1}{2}} = x$

Bước 2.2

Lấy logarit tự nhiên của cả hai vế của phương trình để loại bỏ biến khỏi số mũ.

$\ln ({(\frac{5^{y}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \ln (x)$

Bước 2.3

Khai triển vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Khai triển $\ln ({(\frac{5^{y}}{2})}^{\frac{1}{2}})$ bằng cách di chuyển $\frac{1}{2}$ ra bên ngoài lôgarit.

$\frac{1}{2} \ln (\frac{5^{y}}{2}) = \ln (x)$

Bước 2.3.2

Viết lại $\ln (\frac{5^{y}}{2})$ ở dạng $\ln (5^{y}) - \ln (2)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (5^{y}) - \ln (2)) = \ln (x)$

Bước 2.3.3

Khai triển $\ln (5^{y})$ bằng cách di chuyển $y$ ra bên ngoài lôgarit.

$\frac{1}{2} (y \ln (5) - \ln (2)) = \ln (x)$

Bước 2.4

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Rút gọn $\frac{1}{2} (y \ln (5) - \ln (2))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{2} (y \ln (5)) + \frac{1}{2} (- \ln (2)) = \ln (x)$

Bước 2.4.1.2

Nhân $\frac{1}{2} (y \ln (5))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1.2.1

Kết hợp $y$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{y}{2} \ln (5) + \frac{1}{2} (- \ln (2)) = \ln (x)$

Bước 2.4.1.2.2

Kết hợp $\frac{y}{2}$ và $\ln (5)$ .

$\frac{y \ln (5)}{2} + \frac{1}{2} (- \ln (2)) = \ln (x)$

Bước 2.4.1.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $\ln (2)$ .

$\frac{y \ln (5)}{2} - \frac{\ln (2)}{2} = \ln (x)$

Bước 2.5

Nhân mỗi số hạng trong $\frac{y \ln (5)}{2} - \frac{\ln (2)}{2} = \ln (x)$ với $2$ để loại bỏ các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Nhân mỗi số hạng trong $\frac{y \ln (5)}{2} - \frac{\ln (2)}{2} = \ln (x)$ với $2$ .

$\frac{y \ln (5)}{2} \cdot 2 - \frac{\ln (2)}{2} \cdot 2 = \ln (x) \cdot 2$

Bước 2.5.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y \ln (5)}{2} \cdot 2 - \frac{\ln (2)}{2} \cdot 2 = \ln (x) \cdot 2$

Bước 2.5.2.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$y \ln (5) - \frac{\ln (2)}{2} \cdot 2 = \ln (x) \cdot 2$

Bước 2.5.2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.1.2.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{\ln (2)}{2}$ vào tử số.

$y \ln (5) + \frac{- \ln (2)}{2} \cdot 2 = \ln (x) \cdot 2$

Bước 2.5.2.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y \ln (5) + \frac{- \ln (2)}{2} \cdot 2 = \ln (x) \cdot 2$

Bước 2.5.2.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$y \ln (5) - \ln (2) = \ln (x) \cdot 2$

Bước 2.5.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.3.1

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\ln (x)$ .

$y \ln (5) - \ln (2) = 2 \ln (x)$

Bước 2.6

Chuyển tất cả các số hạng có chứa logarit sang vế trái của phương trình.

$y \ln (5) - \ln (2) - 2 \ln (x) = 0$

Bước 2.7

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $y$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.1

Cộng $\ln (2)$ cho cả hai vế của phương trình.

$y \ln (5) - 2 \ln (x) = \ln (2)$

Bước 2.7.2

Cộng $2 \ln (x)$ cho cả hai vế của phương trình.

$y \ln (5) = \ln (2) + 2 \ln (x)$

Bước 2.8

Chia mỗi số hạng trong $y \ln (5) = \ln (2) + 2 \ln (x)$ cho $\ln (5)$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.1

Chia mỗi số hạng trong $y \ln (5) = \ln (2) + 2 \ln (x)$ cho $\ln (5)$ .

$\frac{y \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}$

Bước 2.8.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $\ln (5)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}$

Bước 2.8.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}$

Bước 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}$

Bước 4

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}$ có là hàm ngược của $f (x) = {(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Để kiểm tra có phải là hàm ngược không, ta kiểm tra xem $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ không.

Bước 4.2

Tính $f^{- 1} (f (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Lập hàm hợp.

$f^{- 1} (f (x))$

Bước 4.2.2

Tính $f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}})$ bằng cách thay giá trị của $f$ vào $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}})}{\ln (5)}$

Bước 4.2.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\ln (2) + 2 \ln ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}})}{\ln (5)}$

Bước 4.2.4

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.4.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{5^{x}}{2}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\ln (2) + 2 \ln (\frac{{(5^{x})}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}})}{\ln (5)}$

Bước 4.2.4.2

Nhân các số mũ trong ${(5^{x})}^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.4.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\ln (2) + 2 \ln (\frac{5^{x (\frac{1}{2})}}{2^{\frac{1}{2}}})}{\ln (5)}$

Bước 4.2.4.2.2

Kết hợp $x$ và $\frac{1}{2}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\ln (2) + 2 \ln (\frac{5^{\frac{x}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}})}{\ln (5)}$

Bước 4.2.4.3

Rút gọn $2 \ln (\frac{5^{\frac{x}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}})$ bằng cách di chuyển $2$ trong logarit.

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\ln (2) + \ln ({(\frac{5^{\frac{x}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}})}^{2})}{\ln (5)}$

Bước 4.2.4.4

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{5^{\frac{x}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\ln (2) + \ln (\frac{{(5^{\frac{x}{2}})}^{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}{\ln (5)}$

Bước 4.2.4.5

Nhân các số mũ trong ${(5^{\frac{x}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.4.5.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\ln (2) + \ln (\frac{5^{\frac{x}{2} \cdot 2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}{\ln (5)}$

Bước 4.2.4.5.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.4.5.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\ln (2) + \ln (\frac{5^{\frac{x}{2} \cdot 2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}{\ln (5)}$

Bước 4.2.4.5.2.2

Viết lại biểu thức.

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\ln (2) + \ln (\frac{5^{x}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}{\ln (5)}$

Bước 4.2.4.6

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.4.6.1

Nhân các số mũ trong ${(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.4.6.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\ln (2) + \ln (\frac{5^{x}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}{\ln (5)}$

Bước 4.2.4.6.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.4.6.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\ln (2) + \ln (\frac{5^{x}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}{\ln (5)}$

Bước 4.2.4.6.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\ln (2) + \ln (\frac{5^{x}}{2})}{\ln (5)}$

Bước 4.2.4.6.2

Tính số mũ.

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\ln (2) + \ln (\frac{5^{x}}{2})}{\ln (5)}$

Bước 4.2.5

Sử dụng tính chất tích số của logarit, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\ln (2 (\frac{5^{x}}{2}))}{\ln (5)}$

Bước 4.2.6

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.6.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\ln (2 (\frac{5^{x}}{2}))}{\ln (5)}$

Bước 4.2.6.2

Viết lại biểu thức.

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\ln (5^{x})}{\ln (5)}$

Bước 4.2.7

Khai triển $\ln (5^{x})$ bằng cách di chuyển $x$ ra bên ngoài lôgarit.

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{x \ln (5)}{\ln (5)}$

Bước 4.2.8

Triệt tiêu thừa số chung $\ln (5)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.8.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{x \ln (5)}{\ln (5)}$

Bước 4.2.8.2

Chia $x$ cho $1$ .

$f^{- 1} ({(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}) = x$

Bước 4.3

Tính $f (f^{- 1} (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Lập hàm hợp.

$f (f^{- 1} (x))$

Bước 4.3.2

Tính $f (\frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)})$ bằng cách thay giá trị của $f^{- 1}$ vào $f$ .

$f (\frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}) = {(\frac{5^{\frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}}}{2})}^{\frac{1}{2}}$

Bước 4.3.3

Rút gọn $2 \ln (x)$ bằng cách di chuyển $2$ trong logarit.

$f (\frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}) = {(\frac{5^{\frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{\ln (x^{2})}{\ln (5)}}}{2})}^{\frac{1}{2}}$

Bước 4.3.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.4.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (\frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}) = {(\frac{5^{\frac{\ln (2) + \ln (x^{2})}{\ln (5)}}}{2})}^{\frac{1}{2}}$

Bước 4.3.4.2

Sử dụng tính chất tích số của logarit, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$f (\frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}) = {(\frac{5^{\frac{\ln (2 x^{2})}{\ln (5)}}}{2})}^{\frac{1}{2}}$

Bước 4.3.4.3

Sử dụng quy tắc đổi cơ số $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$f (\frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}) = {(\frac{5^{\log_{5} (2 x^{2})}}{2})}^{\frac{1}{2}}$

Bước 4.3.4.4

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$f (\frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}) = {(\frac{2 x^{2}}{2})}^{\frac{1}{2}}$

Bước 4.3.5

Rút gọn biểu thức bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.5.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.5.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}) = {(\frac{2 x^{2}}{2})}^{\frac{1}{2}}$

Bước 4.3.5.1.2

Chia $x^{2}$ cho $1$ .

$f (\frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}) = {(x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Bước 4.3.5.2

Nhân các số mũ trong ${(x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.5.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}) = x^{2 (\frac{1}{2})}$

Bước 4.3.5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.5.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}) = x^{2 (\frac{1}{2})}$

Bước 4.3.5.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}) = x$

Bước 4.4

Vì $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ , nên $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}$ là hàm ngược của $f (x) = {(\frac{5^{x}}{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (2)}{\ln (5)} + \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}$