Đại số Ví dụ

$y = {(3 x^{4} - 2 x)}^{- \sin (x)}$

Bước 1

Sử dụng các tính chất của logarit để rút gọn đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Viết lại ${(3 x^{4} - 2 x)}^{- \sin (x)}$ ở dạng $e^{\ln ({(3 x^{4} - 2 x)}^{- \sin (x)})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({(3 x^{4} - 2 x)}^{- \sin (x)})}]$

Bước 1.2

Khai triển $\ln ({(3 x^{4} - 2 x)}^{- \sin (x)})$ bằng cách di chuyển $- \sin (x)$ ra bên ngoài lôgarit.

$\frac{d}{d x} [e^{- \sin (x) \ln (3 x^{4} - 2 x)}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = - \sin (x) \ln (3 x^{4} - 2 x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $- \sin (x) \ln (3 x^{4} - 2 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- \sin (x) \ln (3 x^{4} - 2 x)]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ là $a^{u_{1}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- \sin (x) \ln (3 x^{4} - 2 x)]$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $- \sin (x) \ln (3 x^{4} - 2 x)$ .

$e^{- \sin (x) \ln (3 x^{4} - 2 x)} \frac{d}{d x} [- \sin (x) \ln (3 x^{4} - 2 x)]$

Bước 3

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \sin (x) \ln (3 x^{4} - 2 x)$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [\sin (x) \ln (3 x^{4} - 2 x)]$ .

$e^{- \sin (x) \ln (3 x^{4} - 2 x)} (- \frac{d}{d x} [\sin (x) \ln (3 x^{4} - 2 x)])$

Bước 4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = \sin (x)$ và $g (x) = \ln (3 x^{4} - 2 x)$ .

$e^{- \sin (x) \ln (3 x^{4} - 2 x)} (- (\sin (x) \frac{d}{d x} [\ln (3 x^{4} - 2 x)] + \ln (3 x^{4} - 2 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]))$

Bước 5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = 3 x^{4} - 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $3 x^{4} - 2 x$ .

$e^{- \sin (x) \ln (3 x^{4} - 2 x)} (- (\sin (x) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x^{4} - 2 x]) + \ln (3 x^{4} - 2 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]))$

Bước 5.2

Đạo hàm của $\ln (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $\frac{1}{u_{2}}$ .

$e^{- \sin (x) \ln (3 x^{4} - 2 x)} (- (\sin (x) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{4} - 2 x]) + \ln (3 x^{4} - 2 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]))$

Bước 5.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $3 x^{4} - 2 x$ .

$e^{- \sin (x) \ln (3 x^{4} - 2 x)} (- (\sin (x) (\frac{1}{3 x^{4} - 2 x} \frac{d}{d x} [3 x^{4} - 2 x]) + \ln (3 x^{4} - 2 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]))$

Bước 6

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Kết hợp $\frac{1}{3 x^{4} - 2 x}$ và $\sin (x)$ .

$e^{- \sin (x) \ln (3 x^{4} - 2 x)} (- (\frac{\sin (x)}{3 x^{4} - 2 x} \frac{d}{d x} [3 x^{4} - 2 x] + \ln (3 x^{4} - 2 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]))$

Bước 6.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 x^{4} - 2 x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$e^{- \sin (x) \ln (3 x^{4} - 2 x)} (- (\frac{\sin (x)}{3 x^{4} - 2 x} (\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + \ln (3 x^{4} - 2 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]))$

Bước 6.3

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x^{4}$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$e^{- \sin (x) \ln (3 x^{4} - 2 x)} (- (\frac{\sin (x)}{3 x^{4} - 2 x} (3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + \ln (3 x^{4} - 2 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]))$

Bước 6.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$e^{- \sin (x) \ln (3 x^{4} - 2 x)} (- (\frac{\sin (x)}{3 x^{4} - 2 x} (3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + \ln (3 x^{4} - 2 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]))$

Bước 6.5

Nhân $4$ với $3$ .

$e^{- \sin (x) \ln (3 x^{4} - 2 x)} (- (\frac{\sin (x)}{3 x^{4} - 2 x} (12 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + \ln (3 x^{4} - 2 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]))$

Bước 6.6

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 2 x$ đối với $x$ là $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{- \sin (x) \ln (3 x^{4} - 2 x)} (- (\frac{\sin (x)}{3 x^{4} - 2 x} (12 x^{3} - 2 \frac{d}{d x} [x]) + \ln (3 x^{4} - 2 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]))$

Bước 6.7

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$e^{- \sin (x) \ln (3 x^{4} - 2 x)} (- (\frac{\sin (x)}{3 x^{4} - 2 x} (12 x^{3} - 2 \cdot 1) + \ln (3 x^{4} - 2 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]))$

Bước 6.8

Nhân $- 2$ với $1$ .

$e^{- \sin (x) \ln (3 x^{4} - 2 x)} (- (\frac{\sin (x)}{3 x^{4} - 2 x} (12 x^{3} - 2) + \ln (3 x^{4} - 2 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]))$

Bước 7

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$e^{- \sin (x) \ln (3 x^{4} - 2 x)} (- (\frac{\sin (x)}{3 x^{4} - 2 x} (12 x^{3} - 2) + \ln (3 x^{4} - 2 x) \cos (x)))$

Bước 8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$e^{- \sin (x) \ln (3 x^{4} - 2 x)} (- (\frac{\sin (x)}{3 x^{4} - 2 x} (12 x^{3} - 2)) - (\ln (3 x^{4} - 2 x) \cos (x)))$

Bước 8.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$e^{- \sin (x) \ln (3 x^{4} - 2 x)} (- \frac{\sin (x)}{3 x^{4} - 2 x} (12 x^{3} - 2) - \ln (3 x^{4} - 2 x) \cos (x))$