Đại số Ví dụ

$x \sqrt{4 x + 3}$

Bước 1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{4 x + 3}$ ở dạng ${(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}}] + {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ và $g (x) = 4 x + 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $4 x + 3$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [4 x + 3]) + {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 x + 3]) + {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $4 x + 3$ .

$x (\frac{1}{2} {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 x + 3]) + {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 4

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x + 3]) + {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 5

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x + 3]) + {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$x (\frac{1}{2} {(4 x + 3)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x + 3]) + {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$x (\frac{1}{2} {(4 x + 3)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x + 3]) + {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 7.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$x (\frac{1}{2} {(4 x + 3)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [4 x + 3]) + {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 8

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$x (\frac{1}{2} {(4 x + 3)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [4 x + 3]) + {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 8.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và ${(4 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$x (\frac{{(4 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [4 x + 3]) + {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 8.3

Di chuyển ${(4 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (\frac{1}{2 {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [4 x + 3]) + {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 8.4

Kết hợp $\frac{1}{2 {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ và $x$ .

$\frac{x}{2 {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [4 x + 3] + {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 9

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $4 x + 3$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{x}{2 {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3]) + {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 10

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x}{2 {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) + {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 11

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{x}{2 {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]) + {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 12

Nhân $4$ với $1$ .

$\frac{x}{2 {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (4 + \frac{d}{d x} [3]) + {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 13

Vì $3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $3$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{x}{2 {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (4 + 0) + {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 14

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Cộng $4$ và $0$ .

$\frac{x}{2 {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 4 + {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 14.2

Kết hợp $\frac{x}{2 {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ và $4$ .

$\frac{x \cdot 4}{2 {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 14.3

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $x$ .

$\frac{4 \cdot x}{2 {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 14.4

Đưa $2$ ra ngoài $4 x$ .

$\frac{2 (2 x)}{2 {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 15

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (2 x)}{2 ({(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}})} + {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 15.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 (2 x)}{2 {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 15.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{2 x}{{(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 16

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{2 x}{{(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Bước 17

Nhân ${(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ với $1$ .

$\frac{2 x}{{(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$

Bước 18

Để viết ${(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{{(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{{(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 x}{{(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}} {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{{(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 19

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{2 x + {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}} {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{{(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 20

Nhân ${(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ với ${(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 20.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{2 x + {(4 x + 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 20.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{2 x + {(4 x + 3)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 20.3

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{2 x + {(4 x + 3)}^{\frac{2}{2}}}{{(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 20.4

Chia $2$ cho $2$ .

$\frac{2 x + {(4 x + 3)}^{1}}{{(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 21

Rút gọn ${(4 x + 3)}^{1}$ .

$\frac{2 x + 4 x + 3}{{(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 22

Cộng $2 x$ và $4 x$ .

$\frac{6 x + 3}{{(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$