Đại số Ví dụ

$y = \frac{e^{6 x}}{\ln (4 x)}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = e^{6 x}$ và $g (x) = \ln (4 x)$ .

$\frac{\ln (4 x) \frac{d}{d x} [e^{6 x}] - e^{6 x} \frac{d}{d x} [\ln (4 x)]}{\ln^{2} (4 x)}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = 6 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $6 x$ .

$\frac{\ln (4 x) (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [6 x]) - e^{6 x} \frac{d}{d x} [\ln (4 x)]}{\ln^{2} (4 x)}$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ là $a^{u_{1}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$\frac{\ln (4 x) (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [6 x]) - e^{6 x} \frac{d}{d x} [\ln (4 x)]}{\ln^{2} (4 x)}$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $6 x$ .

$\frac{\ln (4 x) (e^{6 x} \frac{d}{d x} [6 x]) - e^{6 x} \frac{d}{d x} [\ln (4 x)]}{\ln^{2} (4 x)}$

Bước 3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $6$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $6 x$ đối với $x$ là $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\ln (4 x) (e^{6 x} (6 \frac{d}{d x} [x])) - e^{6 x} \frac{d}{d x} [\ln (4 x)]}{\ln^{2} (4 x)}$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\ln (4 x) (e^{6 x} (6 \cdot 1)) - e^{6 x} \frac{d}{d x} [\ln (4 x)]}{\ln^{2} (4 x)}$

Bước 3.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Nhân $6$ với $1$ .

$\frac{\ln (4 x) (e^{6 x} \cdot 6) - e^{6 x} \frac{d}{d x} [\ln (4 x)]}{\ln^{2} (4 x)}$

Bước 3.3.2

Di chuyển $6$ sang phía bên trái của $e^{6 x}$ .

$\frac{\ln (4 x) (6 \cdot e^{6 x}) - e^{6 x} \frac{d}{d x} [\ln (4 x)]}{\ln^{2} (4 x)}$

Bước 4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = 4 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $4 x$ .

$\frac{\ln (4 x) (6 e^{6 x}) - e^{6 x} (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [4 x])}{\ln^{2} (4 x)}$

Bước 4.2

Đạo hàm của $\ln (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\frac{\ln (4 x) (6 e^{6 x}) - e^{6 x} (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [4 x])}{\ln^{2} (4 x)}$

Bước 4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $4 x$ .

$\frac{\ln (4 x) (6 e^{6 x}) - e^{6 x} (\frac{1}{4 x} \frac{d}{d x} [4 x])}{\ln^{2} (4 x)}$

Bước 5

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Kết hợp $\frac{1}{4 x}$ và $e^{6 x}$ .

$\frac{\ln (4 x) (6 e^{6 x}) - \frac{e^{6 x}}{4 x} \frac{d}{d x} [4 x]}{\ln^{2} (4 x)}$

Bước 5.2

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\ln (4 x) (6 e^{6 x}) - \frac{e^{6 x}}{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x])}{\ln^{2} (4 x)}$

Bước 5.3

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Nhân $4$ với $- 1$ .

$\frac{\ln (4 x) (6 e^{6 x}) - 4 \frac{e^{6 x}}{4 x} \frac{d}{d x} [x]}{\ln^{2} (4 x)}$

Bước 5.3.2

Kết hợp $- 4$ và $\frac{e^{6 x}}{4 x}$ .

$\frac{\ln (4 x) (6 e^{6 x}) + \frac{- 4 e^{6 x}}{4 x} \frac{d}{d x} [x]}{\ln^{2} (4 x)}$

Bước 5.3.3

Triệt tiêu thừa số chung của $- 4$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Đưa $4$ ra ngoài $- 4 e^{6 x}$ .

$\frac{\ln (4 x) (6 e^{6 x}) + \frac{4 (- e^{6 x})}{4 x} \frac{d}{d x} [x]}{\ln^{2} (4 x)}$

Bước 5.3.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $4 x$ .

$\frac{\ln (4 x) (6 e^{6 x}) + \frac{4 (- e^{6 x})}{4 (x)} \frac{d}{d x} [x]}{\ln^{2} (4 x)}$

Bước 5.3.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\ln (4 x) (6 e^{6 x}) + \frac{4 (- e^{6 x})}{4 x} \frac{d}{d x} [x]}{\ln^{2} (4 x)}$

Bước 5.3.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{\ln (4 x) (6 e^{6 x}) + \frac{- e^{6 x}}{x} \frac{d}{d x} [x]}{\ln^{2} (4 x)}$

Bước 5.3.4

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{\ln (4 x) (6 e^{6 x}) - \frac{e^{6 x}}{x} \frac{d}{d x} [x]}{\ln^{2} (4 x)}$

Bước 5.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\ln (4 x) (6 e^{6 x}) - \frac{e^{6 x}}{x} \cdot 1}{\ln^{2} (4 x)}$

Bước 5.5

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{\ln (4 x) (6 e^{6 x}) - \frac{e^{6 x}}{x}}{\ln^{2} (4 x)}$

Bước 6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{6 \ln (4 x) e^{6 x} - \frac{e^{6 x}}{x}}{\ln^{2} (4 x)}$

Bước 6.1.2

Rút gọn $6 \ln (4 x)$ bằng cách di chuyển $6$ trong logarit.

$\frac{\ln ({(4 x)}^{6}) e^{6 x} - \frac{e^{6 x}}{x}}{\ln^{2} (4 x)}$

Bước 6.1.3

Áp dụng quy tắc tích số cho $4 x$ .

$\frac{\ln (4^{6} x^{6}) e^{6 x} - \frac{e^{6 x}}{x}}{\ln^{2} (4 x)}$

Bước 6.1.4

Nâng $4$ lên lũy thừa $6$ .

$\frac{\ln (4096 x^{6}) e^{6 x} - \frac{e^{6 x}}{x}}{\ln^{2} (4 x)}$

Bước 6.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $\ln (4096 x^{6}) e^{6 x} - \frac{e^{6 x}}{x}$ .

$\frac{e^{6 x} \ln (4096 x^{6}) - \frac{e^{6 x}}{x}}{\ln^{2} (4 x)}$