Đại số Ví dụ

${(5 x)}^{3 \cos (2 x)}$

Bước 1

Rút gọn bằng cách đặt thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Đưa $5$ ra ngoài $5 x$ .

$\frac{d}{d x} [{(5 (x))}^{3 \cos (2 x)}]$

Bước 1.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $5 (x)$ .

$\frac{d}{d x} [5^{3 \cos (2 x)} x^{3 \cos (2 x)}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = 5^{3 \cos (2 x)}$ và $g (x) = x^{3 \cos (2 x)}$ .

$5^{3 \cos (2 x)} \frac{d}{d x} [x^{3 \cos (2 x)}] + x^{3 \cos (2 x)} \frac{d}{d x} [5^{3 \cos (2 x)}]$

Bước 3

Sử dụng các tính chất của logarit để rút gọn đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại $x^{3 \cos (2 x)}$ ở dạng $e^{\ln (x^{3 \cos (2 x)})}$ .

$5^{3 \cos (2 x)} \frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{3 \cos (2 x)})}] + x^{3 \cos (2 x)} \frac{d}{d x} [5^{3 \cos (2 x)}]$

Bước 3.2

Khai triển $\ln (x^{3 \cos (2 x)})$ bằng cách di chuyển $3 \cos (2 x)$ ra bên ngoài lôgarit.

$5^{3 \cos (2 x)} \frac{d}{d x} [e^{3 \cos (2 x) \ln (x)}] + x^{3 \cos (2 x)} \frac{d}{d x} [5^{3 \cos (2 x)}]$

Bước 4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = 3 \cos (2 x) \ln (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $3 \cos (2 x) \ln (x)$ .

$5^{3 \cos (2 x)} (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [3 \cos (2 x) \ln (x)]) + x^{3 \cos (2 x)} \frac{d}{d x} [5^{3 \cos (2 x)}]$

Bước 4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ là $a^{u_{1}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$5^{3 \cos (2 x)} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [3 \cos (2 x) \ln (x)]) + x^{3 \cos (2 x)} \frac{d}{d x} [5^{3 \cos (2 x)}]$

Bước 4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $3 \cos (2 x) \ln (x)$ .

$5^{3 \cos (2 x)} (e^{3 \cos (2 x) \ln (x)} \frac{d}{d x} [3 \cos (2 x) \ln (x)]) + x^{3 \cos (2 x)} \frac{d}{d x} [5^{3 \cos (2 x)}]$

Bước 5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc nhân với hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 \cos (2 x) \ln (x)$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [\cos (2 x) \ln (x)]$ .

$5^{3 \cos (2 x)} e^{3 \cos (2 x) \ln (x)} (3 \frac{d}{d x} [\cos (2 x) \ln (x)]) + x^{3 \cos (2 x)} \frac{d}{d x} [5^{3 \cos (2 x)}]$

Bước 5.2

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $5^{3 \cos (2 x)} e^{3 \cos (2 x) \ln (x)}$ .

$3 \cdot (5^{3 \cos (2 x)} e^{3 \cos (2 x) \ln (x)}) \frac{d}{d x} [\cos (2 x) \ln (x)] + x^{3 \cos (2 x)} \frac{d}{d x} [5^{3 \cos (2 x)}]$

Bước 6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = \cos (2 x)$ và $g (x) = \ln (x)$ .

$3 \cdot 5^{3 \cos (2 x)} e^{3 \cos (2 x) \ln (x)} (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]) + x^{3 \cos (2 x)} \frac{d}{d x} [5^{3 \cos (2 x)}]$

Bước 7

Đạo hàm của $\ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{x}$ .

$3 \cdot 5^{3 \cos (2 x)} e^{3 \cos (2 x) \ln (x)} (\cos (2 x) \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]) + x^{3 \cos (2 x)} \frac{d}{d x} [5^{3 \cos (2 x)}]$

Bước 8

Kết hợp $\cos (2 x)$ và $\frac{1}{x}$ .

$3 \cdot 5^{3 \cos (2 x)} e^{3 \cos (2 x) \ln (x)} (\frac{\cos (2 x)}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]) + x^{3 \cos (2 x)} \frac{d}{d x} [5^{3 \cos (2 x)}]$

Bước 9

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \cos (x)$ và $g (x) = 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $2 x$ .

$3 \cdot 5^{3 \cos (2 x)} e^{3 \cos (2 x) \ln (x)} (\frac{\cos (2 x)}{x} + \ln (x) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x])) + x^{3 \cos (2 x)} \frac{d}{d x} [5^{3 \cos (2 x)}]$

Bước 9.2

Đạo hàm của $\cos (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $- \sin (u_{2})$ .

$3 \cdot 5^{3 \cos (2 x)} e^{3 \cos (2 x) \ln (x)} (\frac{\cos (2 x)}{x} + \ln (x) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x])) + x^{3 \cos (2 x)} \frac{d}{d x} [5^{3 \cos (2 x)}]$

Bước 9.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $2 x$ .

$3 \cdot 5^{3 \cos (2 x)} e^{3 \cos (2 x) \ln (x)} (\frac{\cos (2 x)}{x} + \ln (x) (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])) + x^{3 \cos (2 x)} \frac{d}{d x} [5^{3 \cos (2 x)}]$

Bước 10

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \cdot 5^{3 \cos (2 x)} e^{3 \cos (2 x) \ln (x)} (\frac{\cos (2 x)}{x} + \ln (x) (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))) + x^{3 \cos (2 x)} \frac{d}{d x} [5^{3 \cos (2 x)}]$

Bước 10.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$3 \cdot 5^{3 \cos (2 x)} e^{3 \cos (2 x) \ln (x)} (\frac{\cos (2 x)}{x} + \ln (x) (- 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x])) + x^{3 \cos (2 x)} \frac{d}{d x} [5^{3 \cos (2 x)}]$

Bước 10.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$3 \cdot 5^{3 \cos (2 x)} e^{3 \cos (2 x) \ln (x)} (\frac{\cos (2 x)}{x} + \ln (x) (- 2 \sin (2 x) \cdot 1)) + x^{3 \cos (2 x)} \frac{d}{d x} [5^{3 \cos (2 x)}]$

Bước 10.4

Nhân $- 2$ với $1$ .

$3 \cdot 5^{3 \cos (2 x)} e^{3 \cos (2 x) \ln (x)} (\frac{\cos (2 x)}{x} + \ln (x) (- 2 \sin (2 x))) + x^{3 \cos (2 x)} \frac{d}{d x} [5^{3 \cos (2 x)}]$

Bước 11

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = 5^{x}$ và $g (x) = 3 \cos (2 x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{3}$ ở dạng $3 \cos (2 x)$ .

$3 \cdot 5^{3 \cos (2 x)} e^{3 \cos (2 x) \ln (x)} (\frac{\cos (2 x)}{x} + \ln (x) (- 2 \sin (2 x))) + x^{3 \cos (2 x)} (\frac{d}{d u_{3}} [5^{u_{3}}] \frac{d}{d x} [3 \cos (2 x)])$

Bước 11.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ là $a^{u_{3}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $5$ .

$3 \cdot 5^{3 \cos (2 x)} e^{3 \cos (2 x) \ln (x)} (\frac{\cos (2 x)}{x} + \ln (x) (- 2 \sin (2 x))) + x^{3 \cos (2 x)} (5^{u_{3}} \ln (5) \frac{d}{d x} [3 \cos (2 x)])$

Bước 11.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{3}$ với $3 \cos (2 x)$ .

$3 \cdot 5^{3 \cos (2 x)} e^{3 \cos (2 x) \ln (x)} (\frac{\cos (2 x)}{x} + \ln (x) (- 2 \sin (2 x))) + x^{3 \cos (2 x)} (5^{3 \cos (2 x)} \ln (5) \frac{d}{d x} [3 \cos (2 x)])$

Bước 12

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc nhân với hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 \cos (2 x)$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$3 \cdot 5^{3 \cos (2 x)} e^{3 \cos (2 x) \ln (x)} (\frac{\cos (2 x)}{x} + \ln (x) (- 2 \sin (2 x))) + x^{3 \cos (2 x)} \cdot 5^{3 \cos (2 x)} \ln (5) (3 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])$

Bước 12.2

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $x^{3 \cos (2 x)} \cdot 5^{3 \cos (2 x)} \ln (5)$ .

$3 \cdot 5^{3 \cos (2 x)} e^{3 \cos (2 x) \ln (x)} (\frac{\cos (2 x)}{x} + \ln (x) (- 2 \sin (2 x))) + 3 \cdot (x^{3 \cos (2 x)} \cdot 5^{3 \cos (2 x)} \ln (5)) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Bước 13

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \cos (x)$ và $g (x) = 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{4}$ ở dạng $2 x$ .

$3 \cdot 5^{3 \cos (2 x)} e^{3 \cos (2 x) \ln (x)} (\frac{\cos (2 x)}{x} + \ln (x) (- 2 \sin (2 x))) + 3 x^{3 \cos (2 x)} \cdot 5^{3 \cos (2 x)} \ln (5) (\frac{d}{d u_{4}} [\cos (u_{4})] \frac{d}{d x} [2 x])$

Bước 13.2

Đạo hàm của $\cos (u_{4})$ đối với $u_{4}$ là $- \sin (u_{4})$ .

$3 \cdot 5^{3 \cos (2 x)} e^{3 \cos (2 x) \ln (x)} (\frac{\cos (2 x)}{x} + \ln (x) (- 2 \sin (2 x))) + 3 x^{3 \cos (2 x)} \cdot 5^{3 \cos (2 x)} \ln (5) (- \sin (u_{4}) \frac{d}{d x} [2 x])$

Bước 13.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{4}$ với $2 x$ .

$3 \cdot 5^{3 \cos (2 x)} e^{3 \cos (2 x) \ln (x)} (\frac{\cos (2 x)}{x} + \ln (x) (- 2 \sin (2 x))) + 3 x^{3 \cos (2 x)} \cdot 5^{3 \cos (2 x)} \ln (5) (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Bước 14

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Nhân $- 1$ với $3$ .

$3 \cdot 5^{3 \cos (2 x)} e^{3 \cos (2 x) \ln (x)} (\frac{\cos (2 x)}{x} + \ln (x) (- 2 \sin (2 x))) - 3 x^{3 \cos (2 x)} \cdot 5^{3 \cos (2 x)} \ln (5) (\sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Bước 14.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \cdot 5^{3 \cos (2 x)} e^{3 \cos (2 x) \ln (x)} (\frac{\cos (2 x)}{x} + \ln (x) (- 2 \sin (2 x))) - 3 x^{3 \cos (2 x)} \cdot 5^{3 \cos (2 x)} \ln (5) \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Bước 14.3

Nhân $2$ với $- 3$ .

$3 \cdot 5^{3 \cos (2 x)} e^{3 \cos (2 x) \ln (x)} (\frac{\cos (2 x)}{x} + \ln (x) (- 2 \sin (2 x))) - 6 x^{3 \cos (2 x)} \cdot 5^{3 \cos (2 x)} \ln (5) \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 14.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$3 \cdot 5^{3 \cos (2 x)} e^{3 \cos (2 x) \ln (x)} (\frac{\cos (2 x)}{x} + \ln (x) (- 2 \sin (2 x))) - 6 x^{3 \cos (2 x)} \cdot 5^{3 \cos (2 x)} \ln (5) \sin (2 x) \cdot 1$

Bước 14.5

Nhân $- 6$ với $1$ .

$3 \cdot 5^{3 \cos (2 x)} e^{3 \cos (2 x) \ln (x)} (\frac{\cos (2 x)}{x} + \ln (x) (- 2 \sin (2 x))) - 6 x^{3 \cos (2 x)} \cdot 5^{3 \cos (2 x)} \ln (5) \sin (2 x)$

Bước 15

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$3 \cdot 5^{3 \cos (2 x)} e^{3 \cos (2 x) \ln (x)} \frac{\cos (2 x)}{x} + 3 \cdot 5^{3 \cos (2 x)} e^{3 \cos (2 x) \ln (x)} (\ln (x) (- 2 \sin (2 x))) - 6 x^{3 \cos (2 x)} \cdot 5^{3 \cos (2 x)} \ln (5) \sin (2 x)$

Bước 15.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.2.1

Kết hợp $3$ và $\frac{\cos (2 x)}{x}$ .

$5^{3 \cos (2 x)} e^{3 \cos (2 x) \ln (x)} \frac{3 \cos (2 x)}{x} + 3 \cdot 5^{3 \cos (2 x)} e^{3 \cos (2 x) \ln (x)} (\ln (x) (- 2 \sin (2 x))) - 6 x^{3 \cos (2 x)} \cdot 5^{3 \cos (2 x)} \ln (5) \sin (2 x)$

Bước 15.2.2

Kết hợp $\frac{3 \cos (2 x)}{x}$ và $5^{3 \cos (2 x)}$ .

$\frac{3 \cos (2 x) \cdot 5^{3 \cos (2 x)}}{x} e^{3 \cos (2 x) \ln (x)} + 3 \cdot 5^{3 \cos (2 x)} e^{3 \cos (2 x) \ln (x)} (\ln (x) (- 2 \sin (2 x))) - 6 x^{3 \cos (2 x)} \cdot 5^{3 \cos (2 x)} \ln (5) \sin (2 x)$

Bước 15.2.3

Kết hợp $\frac{3 \cos (2 x) \cdot 5^{3 \cos (2 x)}}{x}$ và $e^{3 \cos (2 x) \ln (x)}$ .

$\frac{3 \cos (2 x) \cdot 5^{3 \cos (2 x)} e^{3 \cos (2 x) \ln (x)}}{x} + 3 \cdot 5^{3 \cos (2 x)} e^{3 \cos (2 x) \ln (x)} (\ln (x) (- 2 \sin (2 x))) - 6 x^{3 \cos (2 x)} \cdot 5^{3 \cos (2 x)} \ln (5) \sin (2 x)$

Bước 15.2.4

Nhân $- 2$ với $3$ .

$\frac{3 \cos (2 x) \cdot 5^{3 \cos (2 x)} e^{3 \cos (2 x) \ln (x)}}{x} - 6 \cdot 5^{3 \cos (2 x)} e^{3 \cos (2 x) \ln (x)} \ln (x) \sin (2 x) - 6 x^{3 \cos (2 x)} \cdot 5^{3 \cos (2 x)} \ln (5) \sin (2 x)$

Bước 15.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$- 6 \cdot 5^{3 \cos (2 x)} e^{3 \cos (2 x) \ln (x)} \sin (2 x) \ln (x) - 6 \cdot 5^{3 \cos (2 x)} x^{3 \cos (2 x)} \sin (2 x) \ln (5) + \frac{3 \cos (2 x) \cdot 5^{3 \cos (2 x)} e^{3 \cos (2 x) \ln (x)}}{x}$