Đại số Ví dụ

$g (T) = t^{3} {(t^{4} + 5)}^{\frac{7}{2}}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ là $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ trong đó $f (t) = t^{3}$ và $g (t) = {(t^{4} + 5)}^{\frac{7}{2}}$ .

$t^{3} \frac{d}{d t} [{(t^{4} + 5)}^{\frac{7}{2}}] + {(t^{4} + 5)}^{\frac{7}{2}} \frac{d}{d t} [t^{3}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ là $f' (g (t)) g' (t)$ trong đó $f (t) = t^{\frac{7}{2}}$ và $g (t) = t^{4} + 5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $t^{4} + 5$ .

$t^{3} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{7}{2}}] \frac{d}{d t} [t^{4} + 5]) + {(t^{4} + 5)}^{\frac{7}{2}} \frac{d}{d t} [t^{3}]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{7}{2}$ .

$t^{3} (\frac{7}{2} u^{\frac{7}{2} - 1} \frac{d}{d t} [t^{4} + 5]) + {(t^{4} + 5)}^{\frac{7}{2}} \frac{d}{d t} [t^{3}]$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $t^{4} + 5$ .

$t^{3} (\frac{7}{2} {(t^{4} + 5)}^{\frac{7}{2} - 1} \frac{d}{d t} [t^{4} + 5]) + {(t^{4} + 5)}^{\frac{7}{2}} \frac{d}{d t} [t^{3}]$

Bước 3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$t^{3} (\frac{7}{2} {(t^{4} + 5)}^{\frac{7}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d t} [t^{4} + 5]) + {(t^{4} + 5)}^{\frac{7}{2}} \frac{d}{d t} [t^{3}]$

Bước 4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$t^{3} (\frac{7}{2} {(t^{4} + 5)}^{\frac{7}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [t^{4} + 5]) + {(t^{4} + 5)}^{\frac{7}{2}} \frac{d}{d t} [t^{3}]$

Bước 5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$t^{3} (\frac{7}{2} {(t^{4} + 5)}^{\frac{7 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [t^{4} + 5]) + {(t^{4} + 5)}^{\frac{7}{2}} \frac{d}{d t} [t^{3}]$

Bước 6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$t^{3} (\frac{7}{2} {(t^{4} + 5)}^{\frac{7 - 2}{2}} \frac{d}{d t} [t^{4} + 5]) + {(t^{4} + 5)}^{\frac{7}{2}} \frac{d}{d t} [t^{3}]$

Bước 6.2

Trừ $2$ khỏi $7$ .

$t^{3} (\frac{7}{2} {(t^{4} + 5)}^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d t} [t^{4} + 5]) + {(t^{4} + 5)}^{\frac{7}{2}} \frac{d}{d t} [t^{3}]$

Bước 7

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Kết hợp $\frac{7}{2}$ và ${(t^{4} + 5)}^{\frac{5}{2}}$ .

$t^{3} (\frac{7 {(t^{4} + 5)}^{\frac{5}{2}}}{2} \frac{d}{d t} [t^{4} + 5]) + {(t^{4} + 5)}^{\frac{7}{2}} \frac{d}{d t} [t^{3}]$

Bước 7.2

Kết hợp $\frac{7 {(t^{4} + 5)}^{\frac{5}{2}}}{2}$ và $t^{3}$ .

$\frac{7 {(t^{4} + 5)}^{\frac{5}{2}} t^{3}}{2} \frac{d}{d t} [t^{4} + 5] + {(t^{4} + 5)}^{\frac{7}{2}} \frac{d}{d t} [t^{3}]$

Bước 8

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $t^{4} + 5$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [5]$ .

$\frac{7 {(t^{4} + 5)}^{\frac{5}{2}} t^{3}}{2} (\frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [5]) + {(t^{4} + 5)}^{\frac{7}{2}} \frac{d}{d t} [t^{3}]$

Bước 9

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$\frac{7 {(t^{4} + 5)}^{\frac{5}{2}} t^{3}}{2} (4 t^{3} + \frac{d}{d t} [5]) + {(t^{4} + 5)}^{\frac{7}{2}} \frac{d}{d t} [t^{3}]$

Bước 10

Vì $5$ là hằng số đối với $t$ , đạo hàm của $5$ đối với $t$ là $0$ .

$\frac{7 {(t^{4} + 5)}^{\frac{5}{2}} t^{3}}{2} (4 t^{3} + 0) + {(t^{4} + 5)}^{\frac{7}{2}} \frac{d}{d t} [t^{3}]$

Bước 11

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Cộng $4 t^{3}$ và $0$ .

$\frac{7 {(t^{4} + 5)}^{\frac{5}{2}} t^{3}}{2} (4 t^{3}) + {(t^{4} + 5)}^{\frac{7}{2}} \frac{d}{d t} [t^{3}]$

Bước 11.2

Kết hợp $4$ và $\frac{7 {(t^{4} + 5)}^{\frac{5}{2}} t^{3}}{2}$ .

$\frac{4 (7 {(t^{4} + 5)}^{\frac{5}{2}} t^{3})}{2} t^{3} + {(t^{4} + 5)}^{\frac{7}{2}} \frac{d}{d t} [t^{3}]$

Bước 11.3

Nhân $7$ với $4$ .

$\frac{28 ({(t^{4} + 5)}^{\frac{5}{2}} t^{3})}{2} t^{3} + {(t^{4} + 5)}^{\frac{7}{2}} \frac{d}{d t} [t^{3}]$

Bước 11.4

Kết hợp $\frac{28 ({(t^{4} + 5)}^{\frac{5}{2}} t^{3})}{2}$ và $t^{3}$ .

$\frac{28 ({(t^{4} + 5)}^{\frac{5}{2}} t^{3}) t^{3}}{2} + {(t^{4} + 5)}^{\frac{7}{2}} \frac{d}{d t} [t^{3}]$

Bước 12

Nhân $t^{3}$ với $t^{3}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Di chuyển $t^{3}$ .

$\frac{28 ({(t^{4} + 5)}^{\frac{5}{2}} (t^{3} t^{3}))}{2} + {(t^{4} + 5)}^{\frac{7}{2}} \frac{d}{d t} [t^{3}]$

Bước 12.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{28 ({(t^{4} + 5)}^{\frac{5}{2}} t^{3 + 3})}{2} + {(t^{4} + 5)}^{\frac{7}{2}} \frac{d}{d t} [t^{3}]$

Bước 12.3

Cộng $3$ và $3$ .

$\frac{28 ({(t^{4} + 5)}^{\frac{5}{2}} t^{6})}{2} + {(t^{4} + 5)}^{\frac{7}{2}} \frac{d}{d t} [t^{3}]$

Bước 13

Đưa $2$ ra ngoài $28 {(t^{4} + 5)}^{\frac{5}{2}} t^{6}$ .

$\frac{2 (14 {(t^{4} + 5)}^{\frac{5}{2}} t^{6})}{2} + {(t^{4} + 5)}^{\frac{7}{2}} \frac{d}{d t} [t^{3}]$

Bước 14

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{2 (14 {(t^{4} + 5)}^{\frac{5}{2}} t^{6})}{2 (1)} + {(t^{4} + 5)}^{\frac{7}{2}} \frac{d}{d t} [t^{3}]$

Bước 14.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 (14 {(t^{4} + 5)}^{\frac{5}{2}} t^{6})}{2 \cdot 1} + {(t^{4} + 5)}^{\frac{7}{2}} \frac{d}{d t} [t^{3}]$

Bước 14.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{14 {(t^{4} + 5)}^{\frac{5}{2}} t^{6}}{1} + {(t^{4} + 5)}^{\frac{7}{2}} \frac{d}{d t} [t^{3}]$

Bước 14.4

Chia $14 {(t^{4} + 5)}^{\frac{5}{2}} t^{6}$ cho $1$ .

$14 {(t^{4} + 5)}^{\frac{5}{2}} t^{6} + {(t^{4} + 5)}^{\frac{7}{2}} \frac{d}{d t} [t^{3}]$

Bước 15

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$14 {(t^{4} + 5)}^{\frac{5}{2}} t^{6} + {(t^{4} + 5)}^{\frac{7}{2}} (3 t^{2})$

Bước 16

Sắp xếp lại.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của ${(t^{4} + 5)}^{\frac{7}{2}}$ .

$14 {(t^{4} + 5)}^{\frac{5}{2}} t^{6} + 3 \cdot {(t^{4} + 5)}^{\frac{7}{2}} t^{2}$

Bước 16.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$14 t^{6} {(t^{4} + 5)}^{\frac{5}{2}} + 3 t^{2} {(t^{4} + 5)}^{\frac{7}{2}}$