Đại số Ví dụ

$5 x^{2} + 9 y^{2} + 10 x - 54 y + 41$

Bước 1

Tìm dạng chính tắc của elip.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Di chuyển tất cả các số hạng chứa biến sang vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Trừ $5 x^{2}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$y - 5 x^{2} = 9 y^{2} + 10 x - 54 y + 41$

Bước 1.1.2

Trừ $9 y^{2}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$y - 5 x^{2} - 9 y^{2} = 10 x - 54 y + 41$

Bước 1.1.3

Trừ $10 x$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$y - 5 x^{2} - 9 y^{2} - 10 x = - 54 y + 41$

Bước 1.1.4

Cộng $54 y$ cho cả hai vế của phương trình.

$y - 5 x^{2} - 9 y^{2} - 10 x + 54 y = 41$

Bước 1.1.5

Cộng $y$ và $54 y$ .

$- 5 x^{2} - 9 y^{2} - 10 x + 55 y = 41$

Bước 1.2

Hoàn thành bình phương cho $- 5 x^{2} - 10 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Sử dụng dạng $a x^{2} + b x + c$ , để tìm các giá trị của $a$ , $b$ , và $c$ .

$a = - 5$

$b = - 10$

$c = 0$

Bước 1.2.2

Xét dạng đỉnh của một parabol.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Bước 1.2.3

Tìm $d$ bằng cách sử dụng công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1

Thay các giá trị của $a$ và $b$ vào công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 10}{2 \cdot - 5}$

Bước 1.2.3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung của $- 10$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 10$ .

$d = \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot - 5}$

Bước 1.2.3.2.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 \cdot - 5$ .

$d = \frac{2 \cdot - 5}{2 (- 5)}$

Bước 1.2.3.2.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$d = \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot - 5}$

Bước 1.2.3.2.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$d = \frac{- 5}{- 5}$

Bước 1.2.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $- 5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$d = \frac{- 5}{- 5}$

Bước 1.2.3.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$d = 1$

Bước 1.2.4

Tìm $e$ bằng cách sử dụng công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.1

Thay các giá trị của $c$ , $b$ và $a$ vào công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 10)}^{2}}{4 \cdot - 5}$

Bước 1.2.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.2.1.1

Nâng $- 10$ lên lũy thừa $2$ .

$e = 0 - \frac{100}{4 \cdot - 5}$

Bước 1.2.4.2.1.2

Nhân $4$ với $- 5$ .

$e = 0 - \frac{100}{- 20}$

Bước 1.2.4.2.1.3

Chia $100$ cho $- 20$ .

$e = 0 - - 5$

Bước 1.2.4.2.1.4

Nhân $- 1$ với $- 5$ .

$e = 0 + 5$

Bước 1.2.4.2.2

Cộng $0$ và $5$ .

$e = 5$

Bước 1.2.5

Thay các giá trị của $a$ , $d$ và $e$ vào dạng đỉnh $- 5 {(x + 1)}^{2} + 5$ .

$- 5 {(x + 1)}^{2} + 5$

Bước 1.3

Thay $- 5 {(x + 1)}^{2} + 5$ cho $- 5 x^{2} - 10 x$ trong phương trình $- 5 x^{2} - 9 y^{2} - 10 x + 55 y = 41$ .

$- 5 {(x + 1)}^{2} + 5 - 9 y^{2} + 55 y = 41$

Bước 1.4

Di chuyển $5$ sang vế phải của phương trình bằng cách cộng $5$ vào cả hai vế.

$- 5 {(x + 1)}^{2} - 9 y^{2} + 55 y = 41 - 5$

Bước 1.5

Hoàn thành bình phương cho $- 9 y^{2} + 55 y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Sử dụng dạng $a x^{2} + b x + c$ , để tìm các giá trị của $a$ , $b$ , và $c$ .

$a = - 9$

$b = 55$

$c = 0$

Bước 1.5.2

Xét dạng đỉnh của một parabol.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Bước 1.5.3

Tìm $d$ bằng cách sử dụng công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.3.1

Thay các giá trị của $a$ và $b$ vào công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{55}{2 \cdot - 9}$

Bước 1.5.3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.3.2.1

Nhân $2$ với $- 9$ .

$d = \frac{55}{- 18}$

Bước 1.5.3.2.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$d = - \frac{55}{18}$

Bước 1.5.4

Tìm $e$ bằng cách sử dụng công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.4.1

Thay các giá trị của $c$ , $b$ và $a$ vào công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{55^{2}}{4 \cdot - 9}$

Bước 1.5.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.4.2.1.1

Nâng $55$ lên lũy thừa $2$ .

$e = 0 - \frac{3025}{4 \cdot - 9}$

Bước 1.5.4.2.1.2

Nhân $4$ với $- 9$ .

$e = 0 - \frac{3025}{- 36}$

Bước 1.5.4.2.1.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$e = 0 - - \frac{3025}{36}$

Bước 1.5.4.2.1.4

Nhân $- - \frac{3025}{36}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.4.2.1.4.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$e = 0 + 1 (\frac{3025}{36})$

Bước 1.5.4.2.1.4.2

Nhân $\frac{3025}{36}$ với $1$ .

$e = 0 + \frac{3025}{36}$

Bước 1.5.4.2.2

Cộng $0$ và $\frac{3025}{36}$ .

$e = \frac{3025}{36}$

Bước 1.5.5

Thay các giá trị của $a$ , $d$ và $e$ vào dạng đỉnh $- 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} + \frac{3025}{36}$ .

$- 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} + \frac{3025}{36}$

Bước 1.6

Thay $- 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} + \frac{3025}{36}$ cho $- 9 y^{2} + 55 y$ trong phương trình $- 5 x^{2} - 9 y^{2} - 10 x + 55 y = 41$ .

$- 5 {(x + 1)}^{2} - 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} + \frac{3025}{36} = 41 - 5$

Bước 1.7

Di chuyển $\frac{3025}{36}$ sang vế phải của phương trình bằng cách cộng $\frac{3025}{36}$ vào cả hai vế.

$- 5 {(x + 1)}^{2} - 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} = 41 - 5 - \frac{3025}{36}$

Bước 1.8

Rút gọn $41 - 5 - \frac{3025}{36}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.8.1

Tìm mẫu số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.8.1.1

Viết $41$ ở dạng một phân số với mẫu số $1$ .

$- 5 {(x + 1)}^{2} - 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} = \frac{41}{1} - 5 - \frac{3025}{36}$

Bước 1.8.1.2

Nhân $\frac{41}{1}$ với $\frac{36}{36}$ .

$- 5 {(x + 1)}^{2} - 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} = \frac{41}{1} \cdot \frac{36}{36} - 5 - \frac{3025}{36}$

Bước 1.8.1.3

Nhân $\frac{41}{1}$ với $\frac{36}{36}$ .

$- 5 {(x + 1)}^{2} - 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} = \frac{41 \cdot 36}{36} - 5 - \frac{3025}{36}$

Bước 1.8.1.4

Viết $- 5$ ở dạng một phân số với mẫu số $1$ .

$- 5 {(x + 1)}^{2} - 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} = \frac{41 \cdot 36}{36} + \frac{- 5}{1} - \frac{3025}{36}$

Bước 1.8.1.5

Nhân $\frac{- 5}{1}$ với $\frac{36}{36}$ .

$- 5 {(x + 1)}^{2} - 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} = \frac{41 \cdot 36}{36} + \frac{- 5}{1} \cdot \frac{36}{36} - \frac{3025}{36}$

Bước 1.8.1.6

Nhân $\frac{- 5}{1}$ với $\frac{36}{36}$ .

$- 5 {(x + 1)}^{2} - 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} = \frac{41 \cdot 36}{36} + \frac{- 5 \cdot 36}{36} - \frac{3025}{36}$

Bước 1.8.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$- 5 {(x + 1)}^{2} - 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} = \frac{41 \cdot 36 - 5 \cdot 36 - 3025}{36}$

Bước 1.8.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.8.3.1

Nhân $41$ với $36$ .

$- 5 {(x + 1)}^{2} - 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} = \frac{1476 - 5 \cdot 36 - 3025}{36}$

Bước 1.8.3.2

Nhân $- 5$ với $36$ .

$- 5 {(x + 1)}^{2} - 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} = \frac{1476 - 180 - 3025}{36}$

Bước 1.8.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.8.4.1

Trừ $180$ khỏi $1476$ .

$- 5 {(x + 1)}^{2} - 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} = \frac{1296 - 3025}{36}$

Bước 1.8.4.2

Trừ $3025$ khỏi $1296$ .

$- 5 {(x + 1)}^{2} - 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} = \frac{- 1729}{36}$

Bước 1.8.4.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- 5 {(x + 1)}^{2} - 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} = - \frac{1729}{36}$

Bước 1.9

Đổi dấu mỗi số hạng của phương trình để cho số hạng ở vế phải dương.

$5 {(x + 1)}^{2} + 9 {(y - \frac{55}{18})}^{2} = \frac{1729}{36}$

Bước 1.10

Chia mỗi số hạng cho $\frac{1729}{36}$ để làm cho vế phải bằng một.

$\frac{5 {(x + 1)}^{2}}{\frac{1729}{36}} + \frac{9 {(y - \frac{55}{18})}^{2}}{\frac{1729}{36}} = \frac{\frac{1729}{36}}{\frac{1729}{36}}$

Bước 1.11

Rút gọn từng số hạng trong phương trình để đặt vế phải bằng $1$ . Dạng chính tắc của hình elip hoặc hyperbol yêu cầu phía vế phải của phương trình bằng $1$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{\frac{1729}{180}} + \frac{{(y - \frac{55}{18})}^{2}}{\frac{1729}{324}} = 1$

Bước 2

Đây là dạng của một hình elip. Sử dụng dạng này để xác định các giá trị được sử dụng để tìm tâm cùng với trục lớn và trục nhỏ của hình elip.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Bước 3

Tương ứng các giá trị trong elip này với dạng chính tắc. Biến $a$ là bán kính của trục chính của elip, $b$ là bán kính của trục phụ của elip, $h$ là khoảng cách theo trục x tính từ gốc tọa độ, và $k$ là khoảng cách theo trục y tính từ gốc tọa độ.

$a = \frac{\sqrt{8645}}{30}$

$b = \frac{\sqrt{1729}}{18}$

$k = \frac{55}{18}$

$h = - 1$

Bước 4

Tâm của một elip có dạng $(h, k)$ . Thay vào các giá trị của $h$ và $k$ .

$(- 1, \frac{55}{18})$

Bước 5