Đại số Ví dụ

$f (x) = \frac{x^{3} - 27}{x^{2} - 6 x}$

Bước 1

Xác định xem hàm số là lẻ, chẵn, hay không phải cả hai để tìm đối xứng.

1. Nếu là hàm lẻ, hàm số đối xứng qua gốc tọa độ.

2. Nếu là hàm chẵn, hàm số đối xứng qua trục y.

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Viết lại $27$ ở dạng $3^{3}$ .

$f (x) = \frac{x^{3} - 3^{3}}{x^{2} - 6 x}$

Bước 2.1.2

Vì cả hai số hạng đều là các số lập phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai lập phương, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ trong đó $a = x$ và $b = 3$ .

$f (x) = \frac{(x - 3) (x^{2} + x \cdot 3 + 3^{2})}{x^{2} - 6 x}$

Bước 2.1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.1

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $x$ .

$f (x) = \frac{(x - 3) (x^{2} + 3 \cdot x + 3^{2})}{x^{2} - 6 x}$

Bước 2.1.3.2

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$f (x) = \frac{(x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{x^{2} - 6 x}$

Bước 2.2

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2} - 6 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2}$ .

$f (x) = \frac{(x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{x \cdot x - 6 x}$

Bước 2.2.2

Đưa $x$ ra ngoài $- 6 x$ .

$f (x) = \frac{(x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{x \cdot x + x \cdot - 6}$

Bước 2.2.3

Đưa $x$ ra ngoài $x \cdot x + x \cdot - 6$ .

$f (x) = \frac{(x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{x (x - 6)}$

Bước 3

Tìm $f (- x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm $f (- x)$ bằng cách thay $- x$ cho tất cả lần xuất hiện của $x$ trong $f (x)$ .

$f (- x) = \frac{((- x) - 3) ({(- x)}^{2} + 3 (- x) + 9)}{(- x) ((- x) - 6)}$

Bước 3.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $- x$ .

$f (- x) = \frac{(- x - 3) ({(- 1)}^{2} x^{2} + 3 (- x) + 9)}{- x (- x - 6)}$

Bước 3.2.2

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$f (- x) = \frac{(- x - 3) (1 x^{2} + 3 (- x) + 9)}{- x (- x - 6)}$

Bước 3.2.3

Nhân $x^{2}$ với $1$ .

$f (- x) = \frac{(- x - 3) (x^{2} + 3 (- x) + 9)}{- x (- x - 6)}$

Bước 3.2.4

Nhân $- 1$ với $3$ .

$f (- x) = \frac{(- x - 3) (x^{2} - 3 x + 9)}{- x (- x - 6)}$

Bước 3.3

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f (- x) = - \frac{(- x - 3) (x^{2} - 3 x + 9)}{x (- x - 6)}$

Bước 3.3.2

Đưa $- 1$ ra ngoài $- x$ .

$f (- x) = - \frac{(- (x) - 3) (x^{2} - 3 x + 9)}{x (- x - 6)}$

Bước 3.3.3

Viết lại $- 3$ ở dạng $- 1 (3)$ .

$f (- x) = - \frac{(- (x) - 1 \cdot 3) (x^{2} - 3 x + 9)}{x (- x - 6)}$

Bước 3.3.4

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (x) - 1 (3)$ .

$f (- x) = - \frac{- (x + 3) (x^{2} - 3 x + 9)}{x (- x - 6)}$

Bước 3.3.5

Viết lại $- (x + 3)$ ở dạng $- 1 (x + 3)$ .

$f (- x) = - \frac{- 1 (x + 3) (x^{2} - 3 x + 9)}{x (- x - 6)}$

Bước 3.3.6

Đưa $- 1$ ra ngoài $- x$ .

$f (- x) = - \frac{- 1 (x + 3) (x^{2} - 3 x + 9)}{x (- (x) - 6)}$

Bước 3.3.7

Viết lại $- 6$ ở dạng $- 1 (6)$ .

$f (- x) = - \frac{- 1 (x + 3) (x^{2} - 3 x + 9)}{x (- (x) - 1 \cdot 6)}$

Bước 3.3.8

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (x) - 1 (6)$ .

$f (- x) = - \frac{- 1 (x + 3) (x^{2} - 3 x + 9)}{x (- (x + 6))}$

Bước 3.3.9

Viết lại $- (x + 6)$ ở dạng $- 1 (x + 6)$ .

$f (- x) = - \frac{- 1 (x + 3) (x^{2} - 3 x + 9)}{x (- 1 (x + 6))}$

Bước 3.3.10

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (- x) = - \frac{- 1 (x + 3) (x^{2} - 3 x + 9)}{x (- 1 (x + 6))}$

Bước 3.3.11

Viết lại biểu thức.

$f (- x) = - \frac{(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9)}{x (x + 6)}$

Bước 4

Một hàm số chẵn nếu $f (- x) = f (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Kiểm tra xem $f (- x) = f (x)$ .

Bước 4.2

Vì $- \frac{(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9)}{x (x + 6)}$ $\neq$ $\frac{(x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{x (x - 6)}$ , nên hàm số không chẵn.

Hàm số không chẵn

Bước 5

Một hàm số lẻ nếu $f (- x) = - f (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Nhân $- 1$ với $\frac{(x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{x (x - 6)}$ .

$- f (x) = - \frac{(x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{x (x - 6)}$

Bước 5.2

Vì $- \frac{(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9)}{x (x + 6)}$ $\neq$ $- \frac{(x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{x (x - 6)}$ , nên hàm số không lẻ.

Hàm số không lẻ

Bước 6

Hàm số không chẵn hoặc lẻ

Bước 7

Vì hàm không lẻ, nên nó không đối xứng qua gốc tọa độ.

Không đối xứng qua gốc tọa độ

Bước 8

Vì hàm không chẵn, nên nó không đối xứng qua trục y.

Không đối xứng qua trục y

Bước 9

Vì hàm số không lẻ và không chẵn, nên không có đối xứng qua gốc tọa độ / qua trục y.

Hàm số không đối xứng

Bước 10