Đại số Ví dụ

$\frac{f {(x - 6)}^{2} + h - x^{2} - 6}{h}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = f {(x - 6)}^{2} + h - x^{2} - 6$ và $g (x) = h$ .

$\frac{h \frac{d}{d x} [f {(x - 6)}^{2} + h - x^{2} - 6] - (f {(x - 6)}^{2} + h - x^{2} - 6) \frac{d}{d x} [h]}{h^{2}}$

Bước 2

Viết lại ${(x - 6)}^{2}$ ở dạng $(x - 6) (x - 6)$ .

$\frac{h \frac{d}{d x} [f ((x - 6) (x - 6)) + h - x^{2} - 6] - (f {(x - 6)}^{2} + h - x^{2} - 6) \frac{d}{d x} [h]}{h^{2}}$

Bước 3

Khai triển $(x - 6) (x - 6)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{h \frac{d}{d x} [f (x (x - 6) - 6 (x - 6)) + h - x^{2} - 6] - (f {(x - 6)}^{2} + h - x^{2} - 6) \frac{d}{d x} [h]}{h^{2}}$

Bước 3.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{h \frac{d}{d x} [f (x \cdot x + x \cdot - 6 - 6 (x - 6)) + h - x^{2} - 6] - (f {(x - 6)}^{2} + h - x^{2} - 6) \frac{d}{d x} [h]}{h^{2}}$

Bước 3.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{h \frac{d}{d x} [f (x \cdot x + x \cdot - 6 - 6 x - 6 \cdot - 6) + h - x^{2} - 6] - (f {(x - 6)}^{2} + h - x^{2} - 6) \frac{d}{d x} [h]}{h^{2}}$

Bước 4

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Nhân $x$ với $x$ .

$\frac{h \frac{d}{d x} [f (x^{2} + x \cdot - 6 - 6 x - 6 \cdot - 6) + h - x^{2} - 6] - (f {(x - 6)}^{2} + h - x^{2} - 6) \frac{d}{d x} [h]}{h^{2}}$

Bước 4.1.2

Di chuyển $- 6$ sang phía bên trái của $x$ .

$\frac{h \frac{d}{d x} [f (x^{2} - 6 \cdot x - 6 x - 6 \cdot - 6) + h - x^{2} - 6] - (f {(x - 6)}^{2} + h - x^{2} - 6) \frac{d}{d x} [h]}{h^{2}}$

Bước 4.1.3

Nhân $- 6$ với $- 6$ .

$\frac{h \frac{d}{d x} [f (x^{2} - 6 x - 6 x + 36) + h - x^{2} - 6] - (f {(x - 6)}^{2} + h - x^{2} - 6) \frac{d}{d x} [h]}{h^{2}}$

Bước 4.2

Trừ $6 x$ khỏi $- 6 x$ .

$\frac{h \frac{d}{d x} [f (x^{2} - 12 x + 36) + h - x^{2} - 6] - (f {(x - 6)}^{2} + h - x^{2} - 6) \frac{d}{d x} [h]}{h^{2}}$

Bước 5

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $f (x^{2} - 12 x + 36) + h - x^{2} - 6$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [f (x^{2} - 12 x + 36)] + \frac{d}{d x} [h] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{h (\frac{d}{d x} [f (x^{2} - 12 x + 36)] + \frac{d}{d x} [h] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6]) - (f {(x - 6)}^{2} + h - x^{2} - 6) \frac{d}{d x} [h]}{h^{2}}$

Bước 6

Tính $\frac{d}{d x} [f (x^{2} - 12 x + 36)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Vì $f$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $f (x^{2} - 12 x + 36)$ đối với $x$ là $f \frac{d}{d x} [x^{2} - 12 x + 36]$ .

$\frac{h (f \frac{d}{d x} [x^{2} - 12 x + 36] + \frac{d}{d x} [h] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6]) - (f {(x - 6)}^{2} + h - x^{2} - 6) \frac{d}{d x} [h]}{h^{2}}$

Bước 6.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} - 12 x + 36$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [36]$ .

$\frac{h (f (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [36]) + \frac{d}{d x} [h] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6]) - (f {(x - 6)}^{2} + h - x^{2} - 6) \frac{d}{d x} [h]}{h^{2}}$

Bước 6.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{h (f (2 x + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [36]) + \frac{d}{d x} [h] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6]) - (f {(x - 6)}^{2} + h - x^{2} - 6) \frac{d}{d x} [h]}{h^{2}}$

Bước 6.4

Vì $- 12$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 12 x$ đối với $x$ là $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{h (f (2 x - 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [36]) + \frac{d}{d x} [h] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6]) - (f {(x - 6)}^{2} + h - x^{2} - 6) \frac{d}{d x} [h]}{h^{2}}$

Bước 6.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{h (f (2 x - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [36]) + \frac{d}{d x} [h] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6]) - (f {(x - 6)}^{2} + h - x^{2} - 6) \frac{d}{d x} [h]}{h^{2}}$

Bước 6.6

Vì $36$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $36$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{h (f (2 x - 12 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [h] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6]) - (f {(x - 6)}^{2} + h - x^{2} - 6) \frac{d}{d x} [h]}{h^{2}}$

Bước 6.7

Nhân $- 12$ với $1$ .

$\frac{h (f (2 x - 12 + 0) + \frac{d}{d x} [h] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6]) - (f {(x - 6)}^{2} + h - x^{2} - 6) \frac{d}{d x} [h]}{h^{2}}$

Bước 6.8

Cộng $2 x - 12$ và $0$ .

$\frac{h (f (2 x - 12) + \frac{d}{d x} [h] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6]) - (f {(x - 6)}^{2} + h - x^{2} - 6) \frac{d}{d x} [h]}{h^{2}}$

Bước 7

Vì $h$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $h$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{h (f (2 x - 12) + 0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6]) - (f {(x - 6)}^{2} + h - x^{2} - 6) \frac{d}{d x} [h]}{h^{2}}$

Bước 8

Tính $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x^{2}$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{h (f (2 x - 12) + 0 - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6]) - (f {(x - 6)}^{2} + h - x^{2} - 6) \frac{d}{d x} [h]}{h^{2}}$

Bước 8.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{h (f (2 x - 12) + 0 - (2 x) + \frac{d}{d x} [- 6]) - (f {(x - 6)}^{2} + h - x^{2} - 6) \frac{d}{d x} [h]}{h^{2}}$

Bước 8.3

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{h (f (2 x - 12) + 0 - 2 x + \frac{d}{d x} [- 6]) - (f {(x - 6)}^{2} + h - x^{2} - 6) \frac{d}{d x} [h]}{h^{2}}$

Bước 9

Vì $- 6$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 6$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{h (f (2 x - 12) + 0 - 2 x + 0) - (f {(x - 6)}^{2} + h - x^{2} - 6) \frac{d}{d x} [h]}{h^{2}}$

Bước 10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{h (f (2 x) + f \cdot - 12 + 0 - 2 x + 0) - (f {(x - 6)}^{2} + h - x^{2} - 6) \frac{d}{d x} [h]}{h^{2}}$

Bước 10.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $f$ .

$\frac{h (2 \cdot f x + f \cdot - 12 + 0 - 2 x + 0) - (f {(x - 6)}^{2} + h - x^{2} - 6) \frac{d}{d x} [h]}{h^{2}}$

Bước 10.2.2

Di chuyển $- 12$ sang phía bên trái của $f$ .

$\frac{h (2 f x - 12 \cdot f + 0 - 2 x + 0) - (f {(x - 6)}^{2} + h - x^{2} - 6) \frac{d}{d x} [h]}{h^{2}}$

Bước 10.2.3

Cộng $2 f x - 12 f$ và $0$ .

$\frac{h (2 f x - 12 f - 2 x + 0) - (f {(x - 6)}^{2} + h - x^{2} - 6) \frac{d}{d x} [h]}{h^{2}}$

Bước 10.2.4

Cộng $2 f x - 12 f - 2 x$ và $0$ .

$\frac{h (2 f x - 12 f - 2 x) - (f {(x - 6)}^{2} + h - x^{2} - 6) \frac{d}{d x} [h]}{h^{2}}$

Bước 11

Vì $h$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $h$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{h (2 f x - 12 f - 2 x) - (f {(x - 6)}^{2} + h - x^{2} - 6) \cdot 0}{h^{2}}$

Bước 12

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{h (2 f x) + h (- 12 f) + h (- 2 x) - (f {(x - 6)}^{2} + h - x^{2} - 6) \cdot 0}{h^{2}}$

Bước 12.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{h (2 f x) + h (- 12 f) + h (- 2 x) + (- (f {(x - 6)}^{2}) - h - - x^{2} - - 6) \cdot 0}{h^{2}}$

Bước 12.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{h (2 f x) + h (- 12 f) + h (- 2 x) - (f {(x - 6)}^{2}) \cdot 0 - h \cdot 0 - - x^{2} \cdot 0 - - 6 \cdot 0}{h^{2}}$

Bước 12.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.4.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.4.1.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{2 h f x + h (- 12 f) + h (- 2 x) - (f {(x - 6)}^{2}) \cdot 0 - h \cdot 0 - - x^{2} \cdot 0 - - 6 \cdot 0}{h^{2}}$

Bước 12.4.1.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{2 h f x - 12 h f + h (- 2 x) - (f {(x - 6)}^{2}) \cdot 0 - h \cdot 0 - - x^{2} \cdot 0 - - 6 \cdot 0}{h^{2}}$

Bước 12.4.1.3

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{2 h f x - 12 h f - 2 h x - (f {(x - 6)}^{2}) \cdot 0 - h \cdot 0 - - x^{2} \cdot 0 - - 6 \cdot 0}{h^{2}}$

Bước 12.4.1.4

Viết lại ${(x - 6)}^{2}$ ở dạng $(x - 6) (x - 6)$ .

$\frac{2 h f x - 12 h f - 2 h x - (f ((x - 6) (x - 6))) \cdot 0 - h \cdot 0 - - x^{2} \cdot 0 - - 6 \cdot 0}{h^{2}}$

Bước 12.4.1.5

Khai triển $(x - 6) (x - 6)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.4.1.5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 h f x - 12 h f - 2 h x - (f (x (x - 6) - 6 (x - 6))) \cdot 0 - h \cdot 0 - - x^{2} \cdot 0 - - 6 \cdot 0}{h^{2}}$

Bước 12.4.1.5.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 h f x - 12 h f - 2 h x - (f (x \cdot x + x \cdot - 6 - 6 (x - 6))) \cdot 0 - h \cdot 0 - - x^{2} \cdot 0 - - 6 \cdot 0}{h^{2}}$

Bước 12.4.1.5.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 h f x - 12 h f - 2 h x - (f (x \cdot x + x \cdot - 6 - 6 x - 6 \cdot - 6)) \cdot 0 - h \cdot 0 - - x^{2} \cdot 0 - - 6 \cdot 0}{h^{2}}$

Bước 12.4.1.6

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.4.1.6.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.4.1.6.1.1

Nhân $x$ với $x$ .

$\frac{2 h f x - 12 h f - 2 h x - (f (x^{2} + x \cdot - 6 - 6 x - 6 \cdot - 6)) \cdot 0 - h \cdot 0 - - x^{2} \cdot 0 - - 6 \cdot 0}{h^{2}}$

Bước 12.4.1.6.1.2

Di chuyển $- 6$ sang phía bên trái của $x$ .

$\frac{2 h f x - 12 h f - 2 h x - (f (x^{2} - 6 \cdot x - 6 x - 6 \cdot - 6)) \cdot 0 - h \cdot 0 - - x^{2} \cdot 0 - - 6 \cdot 0}{h^{2}}$

Bước 12.4.1.6.1.3

Nhân $- 6$ với $- 6$ .

$\frac{2 h f x - 12 h f - 2 h x - (f (x^{2} - 6 x - 6 x + 36)) \cdot 0 - h \cdot 0 - - x^{2} \cdot 0 - - 6 \cdot 0}{h^{2}}$

Bước 12.4.1.6.2

Trừ $6 x$ khỏi $- 6 x$ .

$\frac{2 h f x - 12 h f - 2 h x - (f (x^{2} - 12 x + 36)) \cdot 0 - h \cdot 0 - - x^{2} \cdot 0 - - 6 \cdot 0}{h^{2}}$

Bước 12.4.1.7

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 h f x - 12 h f - 2 h x - (f x^{2} + f (- 12 x) + f \cdot 36) \cdot 0 - h \cdot 0 - - x^{2} \cdot 0 - - 6 \cdot 0}{h^{2}}$

Bước 12.4.1.8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.4.1.8.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{2 h f x - 12 h f - 2 h x - (f x^{2} - 12 f x + f \cdot 36) \cdot 0 - h \cdot 0 - - x^{2} \cdot 0 - - 6 \cdot 0}{h^{2}}$

Bước 12.4.1.8.2

Di chuyển $36$ sang phía bên trái của $f$ .

$\frac{2 h f x - 12 h f - 2 h x - (f x^{2} - 12 f x + 36 \cdot f) \cdot 0 - h \cdot 0 - - x^{2} \cdot 0 - - 6 \cdot 0}{h^{2}}$

Bước 12.4.1.9

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 h f x - 12 h f - 2 h x + (- (f x^{2}) - (- 12 f x) - (36 f)) \cdot 0 - h \cdot 0 - - x^{2} \cdot 0 - - 6 \cdot 0}{h^{2}}$

Bước 12.4.1.10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.4.1.10.1

Nhân $- 12$ với $- 1$ .

$\frac{2 h f x - 12 h f - 2 h x + (- f x^{2} + 12 (f x) - (36 f)) \cdot 0 - h \cdot 0 - - x^{2} \cdot 0 - - 6 \cdot 0}{h^{2}}$

Bước 12.4.1.10.2

Nhân $36$ với $- 1$ .

$\frac{2 h f x - 12 h f - 2 h x + (- f x^{2} + 12 (f x) - 36 f) \cdot 0 - h \cdot 0 - - x^{2} \cdot 0 - - 6 \cdot 0}{h^{2}}$

Bước 12.4.1.11

Nhân $- f x^{2} + 12 f x - 36 f$ với $0$ .

$\frac{2 h f x - 12 h f - 2 h x + 0 - h \cdot 0 - - x^{2} \cdot 0 - - 6 \cdot 0}{h^{2}}$

Bước 12.4.1.12

Nhân $- h \cdot 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.4.1.12.1

Nhân $0$ với $- 1$ .

$\frac{2 h f x - 12 h f - 2 h x + 0 + 0 h - - x^{2} \cdot 0 - - 6 \cdot 0}{h^{2}}$

Bước 12.4.1.12.2

Nhân $0$ với $h$ .

$\frac{2 h f x - 12 h f - 2 h x + 0 + 0 - - x^{2} \cdot 0 - - 6 \cdot 0}{h^{2}}$

Bước 12.4.1.13

Nhân $- - x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.4.1.13.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{2 h f x - 12 h f - 2 h x + 0 + 0 + 1 x^{2} \cdot 0 - - 6 \cdot 0}{h^{2}}$

Bước 12.4.1.13.2

Nhân $x^{2}$ với $1$ .

$\frac{2 h f x - 12 h f - 2 h x + 0 + 0 + x^{2} \cdot 0 - - 6 \cdot 0}{h^{2}}$

Bước 12.4.1.14

Nhân $x^{2}$ với $0$ .

$\frac{2 h f x - 12 h f - 2 h x + 0 + 0 + 0 - - 6 \cdot 0}{h^{2}}$

Bước 12.4.1.15

Nhân $- - 6 \cdot 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.4.1.15.1

Nhân $- 1$ với $- 6$ .

$\frac{2 h f x - 12 h f - 2 h x + 0 + 0 + 0 + 6 \cdot 0}{h^{2}}$

Bước 12.4.1.15.2

Nhân $6$ với $0$ .

$\frac{2 h f x - 12 h f - 2 h x + 0 + 0 + 0 + 0}{h^{2}}$

Bước 12.4.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $2 h f x - 12 h f - 2 h x + 0 + 0 + 0 + 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.4.2.1

Cộng $2 h f x - 12 h f - 2 h x$ và $0$ .

$\frac{2 h f x - 12 h f - 2 h x + 0 + 0 + 0}{h^{2}}$

Bước 12.4.2.2

Cộng $2 h f x - 12 h f - 2 h x$ và $0$ .

$\frac{2 h f x - 12 h f - 2 h x + 0 + 0}{h^{2}}$

Bước 12.4.2.3

Cộng $2 h f x - 12 h f - 2 h x$ và $0$ .

$\frac{2 h f x - 12 h f - 2 h x + 0}{h^{2}}$

Bước 12.4.2.4

Cộng $2 h f x - 12 h f - 2 h x$ và $0$ .

$\frac{2 h f x - 12 h f - 2 h x}{h^{2}}$

Bước 12.5

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{2 f h x - 12 f h - 2 h x}{h^{2}}$

Bước 12.6

Đưa $2 h$ ra ngoài $2 f h x - 12 f h - 2 h x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.6.1

Đưa $2 h$ ra ngoài $2 f h x$ .

$\frac{2 h (f x) - 12 f h - 2 h x}{h^{2}}$

Bước 12.6.2

Đưa $2 h$ ra ngoài $- 12 f h$ .

$\frac{2 h (f x) + 2 h (- 6 f) - 2 h x}{h^{2}}$

Bước 12.6.3

Đưa $2 h$ ra ngoài $- 2 h x$ .

$\frac{2 h (f x) + 2 h (- 6 f) + 2 h (- x)}{h^{2}}$

Bước 12.6.4

Đưa $2 h$ ra ngoài $2 h (f x) + 2 h (- 6 f)$ .

$\frac{2 h (f x - 6 f) + 2 h (- x)}{h^{2}}$

Bước 12.6.5

Đưa $2 h$ ra ngoài $2 h (f x - 6 f) + 2 h (- x)$ .

$\frac{2 h (f x - 6 f - x)}{h^{2}}$

Bước 12.7

Triệt tiêu thừa số chung của $h$ và $h^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.7.1

Đưa $h$ ra ngoài $2 h (f x - 6 f - x)$ .

$\frac{h (2 (f x - 6 f - x))}{h^{2}}$

Bước 12.7.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.7.2.1

Đưa $h$ ra ngoài $h^{2}$ .

$\frac{h (2 (f x - 6 f - x))}{h \cdot h}$

Bước 12.7.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{h (2 (f x - 6 f - x))}{h \cdot h}$

Bước 12.7.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{2 (f x - 6 f - x)}{h}$